Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения

Кармазина А.В., Перец О.Б.

Южноукраинский государственный педагогический университет им.К.Д.Ушинского, г.Одесса, Украина

Почти проективные движения пространств постоянной кривизны

Пусть V_n – риманово пространство с фундаментальной формой

(1)

Показано, что необходимым и достаточным условием для существования в V_n группы почти проективных движений

,

Сохраняющим квадратичный комплекс геодезических, являются уравнения

, (2)

, (3)

, (4)

где - связность пространства V_n , - тензор, задающий комплекс геодезических.

Система (2) – (4) представляет собой дифференциальные уравнения бесконечно малых преобразований, сохраняющих квадратичный комплекс геодезических траекторий.

Для линейного комплекса определяющие уравнения таковы:

, (5)

, (6)

, (7)

Если (а = 1, 2) – два оператора проективных движений, то их коммутатор тоже порождает почти проективное движение. Если (а = 1, …,r) порождает полную систему одно параметрических групп преобразований, сохраняющих некоторый комплекс геодезических, то он порождает r – членную группу Ли почти проективных преобразований. В данном случае

,

Поскольку в противном случае квадратичный комплекс распадается на два линейных.

Из группы уравнений (2) - (4) следует, что группы почти проективных движений включают в себя частные либо предельные случаи: произвольные аффинные (), проективные , конформные ().

Полагаем, что группа почти проективных движений не является тривиальной ().

Ранее было доказано, что тензоры , задающие комплекс геодезических пространства V_n, допускающего почти проективные движения, сохраняющие эти комплексы, могут быть лишь 3-х типов:

1) - числовой тензор ( в декартовой системе координат);

2) , где W, P – многочлены соответственно порядков 2 и 1 от переменных хⁱ;

3) , где W – многочлены порядка 2 от переменных хⁱ.

Мы ставим задачу рассмотреть свойства подвижности пространства постоянной кривизны V₄ сигнатуры (- - - +). Эти пространства с точки зрения физических исследований представляют интерес, поскольку это пространство известно как одно из космологических решений. Оно описывает однородную статическую вселенную. Так как это пространство и пространство Минковского имеют общие геодезические, а уравнения

Инвариантно при геодезическом отображении, то группы преобразований, задаваемые тензором будут почти проективными и в более общих пространствах постоянной кривизны.

Для изучаемых пространств V₄ получены следующие теоремы об их свойствах подвижности относительно почти проективных движений.

Теорема 1. Для того, чтобы преобразование

определяло почти проективное движение в пространстве V₄ (- - - +), необходимо, чтобы выполнялось условие

. (8)

Причем вектор - градиент.

Рассмотрим тензоры , определяющие комплекс геодезических траекторий пространства V₄ (- - - +). В этом случае имеется только две возможности:

1) - невырожден, т.е. ;

2) .

Тензор определяется комплексом с точностью до комформного множителя. Следовательно, задает тот же комплекс. Поскольку в этом случае имеет место

,

,

то определяет риманово пространство , геодезически соответствующее пространству V₄. Но тогда - пространство постоянной кривизны.

Имеем

Теорему 2. Если невырожден, то группа почти проективных движений в пространстве V₄ является конформной группой в 4-х мерном пространстве постоянной кривизны, метрика которого задается тензором , определяющим комплекс геодезических.

Теорема 3. Для того, чтобы пространство V₄ допускало нетривиальную почти проективную группу, сохраняющую квадратичный комплекс ранга 3, необходимо и достаточно, чтобы тензор, задающий комплекс, на некоторой неизотропной омбилической гиперповерхности М₃ определял риманово пространство постоянной кривизны.

Литература:

1. Аминова А.В. Определение бесконечно малых проективных преобразований. Сб. «Гравитация и теория относительности» Казань, Изд.КГУ, вып.13, 1976.

2. Петров А.З. Новые методы в ОТО. М., Наука, 1966.

3. Чернышенко В.М. Пространства со специальным комплексом геодезических. Труды семинара по векторному и тензорному анализу. Моск. ун-т, вып. 11, 1961.

4. Синяков Н.С. Бесконечно малые почти геодезические преобразования аффинносвязных и Римановых пространств. І Укр. геом. сб. вып. 9, 1970, 86-95.