Исмаилов Б.Р., Шарафиев А.Ш., Исмаилов Х.Б., Мергенбай Л.

Южно-Казахстанский Государственный университет

им. М.Ауезова, РНИЦ ДХП БХП, Казахстан, г.Шымкент

Исследование устойчивости численного алгоритма решения уравнений динамики газа в каналах массообменных аппаратов

В действующих тепло- и массообменных аппаратах с многоступенчатым взаимодействием фаз и регулярным расположением насадок имеются несколько параллельно расположенных гирлянд насадок. При этом происходит влияние соседних потоков. При расчете это может быть учтено разными способами. Например, можно представить идеализированную схему с подвижной «границей», когда выпрямленная центральная изолиния тока является подвижной «границей» с продольной скоростью движения kU₀, где k=0,70,9. Таким образом, задача сводится к расчету движения газа в канале с подвижными границами [1].

Основные характеристики течения газа в контактных устройствах колонных массообменных аппаратов могут быть найдены решением уравнений Навье-Стокса [2]. Однако в настоящее время отсутствует общее строгое обоснование устойчивости итерационных методов решения этих уравнений. Это связано с нелинейностью большинства уравнений механики жидкости и газа, в особенности для турбулентного режима [3]. Известны лишь приемы, позволяющие отсеивать заведомо неустойчивые схемы. В данной работе приведены некоторые результаты оценки параметров сеточного метода.

Применим метод гармонических возмущений Фурье для исследования устойчивости схемы установления для уравнения функции тока [2]. Из теории дифференциальных уравнений известно, что частные решения имеют следующий вид:

. (1)

Сеточным аналогом решений вида (1) являются числа, образованные по формуле:

, (2)

где - постоянные числа, m,k,n-индексы сеточных узлов, шаги разностной сетки, разные в общем случае. Ограниченность возмущений вида (2) при бесконечном убывании шагов сетки является первым необходимым условием устойчивости разностной схемы. Допустим, что число Рейнольдса, образованное характерными размерами канала, среднерасходной скоростью и вязкостью меньше единицы, тогда значения , характеризующие завихренность потока в рассматриваемой области течения, также малы. Согласно методу Фурье получим, что разностная схема

(3)

устойчива, если где . По аналогии с одномерным случаем, положим =0 и рассмотрим возмущение специального вида:

, (4)

где - вещественные произвольные числа. Подставляя (4) в (3), получим:

(5)

Сокращая на получим соотношение:

(6)

Условие Неймана для устойчивости гармонических возмущений при

(7)

дает неравенство

(8)

или

. (9)

Если то (10)

При расчете обтекания газовым потоком остроугольных насадок нами установлено, что уже при Re100 в потоке возникают вихревые течения и предположения о малости завихренности могут и не выполняться. Численные эксперименты, проведенные нами для разных граничных условий и контактных устройств показали, что завихренность действительно принимает значения по модулю порядка 10² , 10³ . Обозначим через среднее значения завихренности в канале. Допустим, что . Тогда после преобразований получим следующее условие для временного и пространственного шагов h и :

. (11)

Хотя в неравенстве (11) присутствуют 2 неизвестные и , но как показывает практика численных решений уравнений Навье – Стокса, пространственный шаг можно выбрать из соотношения (-требуемая точность). Это дает возможность подобрать из (11). Строгое рассмотрение устойчивости для уравнения , невозможно. Однако вышеприведенный метод позволяет отсеивать заведомо неприемлемые значения временного шага.

Литература

1. Холпанов Л.П., Исмаилов Б.Р. Моделирование турбулентного течения несжимаемой жидкости в каналах сложной формы //ТОХТ.-1990.-ХХIV,3.-С.466-472.

2. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена.-М.: Наука,1984.-284с.

3. Госмен А.Д., Пан В.М., Ранчел А.К. и др. Численные методы исследования течений вязкой жидкости.-М.: Мир, 1972.-324с.