Биологические науки/8. Физиология человека и животных

В. М. Бахилин

Научный сотрудник, Санкт-Петербургский научно-исследовательский институт уха, горла, носа и речи.

Оценки погрешностей, вносимых в периодограмму вариабельности сердечного ритма дискретностью измерения ЭКГ

Введение. Разработка методов количественной оценки погрешностей, вносимых в периодограмму вариабельности сердечного ритма (ВСР) дискретным характером измерений, до настоящего времени остается актуальной. В [1] получены аналитические выражения корреляционной функции и спектральной плотности шума, создаваемого ошибками дискретизации (ШСОД) для бесконечной записи ритмограммы. Эти выражения позволяют оценить средние значения погрешности периодограммы ВСР, обусловленные дискретизацией измерений ЭКГ. Не умаляя значения полученных в указанной работе результатов, отметим, что дополнительные погрешности вносятся ограниченностью записи ЭКГ и свойствами математических процедур вычисления оценок спектральных плотностей ограниченных временных рядов.

Оценивание спектральной плотности по конечной реализации случайного процесса относится к классу обратных задач, характерной особенностью которых является неустойчивость решений: небольшие изменения в численных значениях исходного ряда могут привести к существенному различию решений. Для оценки спектральной плотности чаще всего используют периодограмму Шустера, однако периодограмма непериодического процесса содержит значительные случайные выбросы, которые легко могут быть восприняты как периодичность исследуемого процесса.

Целью настоящей работы является вывод алгоритмов расчета средних значений погрешностей в различных частотных диапазонах, вносимых в периодограмму ВСР дискретным характером измерений, и расчета вероятности того, что тот или иной выброс на периодограмме ВСР явился результатом ШСОД. Предложен также алгоритм построения функции, ограничивающей на плоскости периодограммы ВСР, область, выход из которой выбросами периодограммы ШСОД имеет вероятность меньшую числа 0.00135 (соответствующему правилу 3σ).

Статистики ШСОД. Предполагается, что вершины QRS-комплексов в пределах одного шага измерения достаточно точно описываются параболой. В этом случае ошибка дискретизации v имеет равномерное распределение, нулевое среднее значение и дисперсию Dν=τ2/12, где τ – шаг дискретизации [2].  

Так как ВСР представляет собой ряд временных интервалов между моментами идентификации вершин R последовательных QRS-комплексов, ошибка vi измерения времени появления i-той вершины Ri входит в расчеты двух соседних интервалов – Ri-1Ri и RiRi+1. Длительность всех остальных интервалов не зависит от vi. Поэтому ряд ошибок измерения RR интервалов W={vi–vi–1}, i=2,3,…, вызванных ошибками дискретизации, образует цепь Маркова. В случае бесконечных измерений корреляционная функция и спектральная плотность ряда W имеют вид

R(k) , где dij – символ Кронекера:  , (1)

Выводы этих формул, отличающиеся в деталях, можно найти в [1] и [2]. Выражение для спектральной плотности в [1] отличается от (2) численным коэффициентом.

Ряд W образует импульсный случайный процесс, поэтому аргумент корреляционной функции (1) измеряется в номерах RR-интервалов (сердечных ударов), обозначаемых «beats», а аргумент спектральной плотности (2) –  пропорционален числу колебаний, приходящихся на один сердечный удар –  cycle/beat (c/b). Функция S(ω) = S(2pw), где w – частота, измеряемая в c/b, является периодической с периодом Tw = 1 b/c, частотой Найквиста wc = 0.5 c/b и основным интервалом (0, 0.5) c/b, согласно теореме Шеннона-Котельникова.

Выражения (1), (2) справедливы для бесконечного ряда измерений. Практически всегда приходится иметь дело с конечным рядом измерений, по которому можно лишь приближенно оценить спектральную плотность. Для оценки чаще всего используют периодограмму:

где N – число RR-интервалов на обрабатываемом фрагменте ЭКГ.

Периодограмма является несмещенной несостоятельной оценкой спектральной плотности. Рис. 1 иллюстрирует различие между спектральной плотностью (1) бесконечного процесса и ее оценкой – периодограммой, рассчитанной по конечной реализации в MATLAB.

Рис. 1. Спектральная плотность (гладкая кривая) и периодограмма (кривая с выбросами), рассчитанные для ЧД=125Гц и длины ряда N=180 RR-интервалов.

Расчет средних значений ошибок ШСОД в различных частотных диапазонах. Так как периодограмма несмещенная оценка спектральной плотности, для расчета средних значений ошибок ШСОД может быть использована формула (2). Полная энергия, добавляемая ШСОД к энергии полезного сигнала, зависит только от ЧД и не зависит от обрабатываемого сигнала и длины записи. Она равна площади, ограниченной кривой спектральной плотности (2):

Для вычисления энергии ШСОД в диапазонах ULF, VLF, LF, HF и UHF, заданных в Гц, аргумент функции спектральной плотности (2) необходимо преобразовать к Гц, для чего, как обычно, b/c делят на среднюю по записи длительность RR интервала в секундах. При этом вид графика спектральной плотности не изменится, но изменятся масштабы шкал, и частотные диапазоны займут на графике различные положения: при тахикардии HF диапазон сдвинется влево, где уровень спектральной плотности ШСОД ниже, а при брадикардии – наоборот, в сторону высоких значений спектральной плотности ШСОД. Поэтому ошибки, вносимые ШСОД в периодограмму ВСР, зависят от ЧСС обследуемого. Ниже приведена таблица относительных вкладов ошибок ШСОД, в диапазонах ULF, VLF, LF, HF и UHF (от конца HF диапазона до конца шкалы) частот в зависимости от ЧСС. Расчет таблицы приведен в [2].

Таблица 1

ЧСС уд/мин

50

6.1*10-7

0.001

0.070

0.85

0.08

60

3.6*10-7

8.4*10-4

0.042

0.57

0.39

70

2.2*10-7

5.3*10-4

0.027

0.39

0.58

80

1.5*10-7

3.5*10-4

0.018

0.28

0.70

90

1.1*10-7

2.5*10-4

0.013

0.2

0.78

Таблица позволяет рассчитать погрешность среднего значения, создаваемую ШСОД, в любом диапазоне. Например, запись ЭКГ пациента А (рис. 2а) проведена с ЧД = 125 Гц, откуда τ = 0.008сек и D∑ ≈ 10.7 мс2, ЧСС = 90 уд/мин, поэтому, используя последнюю строку таблицы, найдем DHF = 0.2* D∑ ≈ 2 мс2. Энергия сигнала в HF диапазоне (площадь под периодограммой на участке от 0.15 до 0.4 Гц) равна ≈ 5 мс2, откуда погрешность среднего значения, созданного ШСОД, равна ≈40%. Для обработки записи пациента В (рис. 2b) при ЧД=125 Гц та же погрешность составляет около 7%, для обработки записи пациента С – менее 1%.

Расчет вероятностей выбросов ШСОД. Главная опасность ШСОД заключается в том, что большие выбросы в периодограммах ШСОД могут оказаться соизмеримыми с пиками полезного сигнала и привести к ошибочным заключениям о периодичности ВСР. Поэтому важно оценить вероятность принадлежности того или иного выброса на периодограмме ВСР шуму, создаваемому ошибками дискретизации.

Известно, что в каждой точке wj значение периодограммы является случайной величиной с экспоненциальным законом распределения вероятностей, и значения периодограммы в точках спектра wj, wj+k, k = 1, 2,…, при больших N становятся некоррелированными между собой [3]. На этом основании с использованием выражения (2) получены следующие результаты.

Значение периодограммы ШСОД в точке wj имеет

1)    среднее значение         

2)    дисперсию         

3)     Среднеквадратическое отклонение –

4)    функцию распределения вероятностей

5)    функцию плотности распределения вероятности

Отсюда следует

1)   Вероятность того, что отсчет x(wk) превзойдет величину Х, равна

2)    Кривая, ограничивающая на плоскости (w, S) значения S(w), вероятность которых меньше 0.00135, с точность до третьего знака описывается уравнением

F0.00135(wk) = Сt2(1-coswk), где С @ 2.2.

Примеры обработки фрагментов записей ЭКГ. На рис. 2a, 2b, 2c представлены периодограммы трех фрагментов различных баз данных ФизиоБанка [4]. На каждом рисунке проведена также кривая F0.00135(wk), ограничивающая область, выше которой появление выбросов, обусловленных ШСОД, имеет вероятность меньшую 0.00135.

a                                    b                                  c

Рис. 2. Периодограммы фрагментов записей: а) 444/444 базы данных MIMIC; b) F2o10 базы данных Fantasia; c) 16773 банка Normal Sinus Rhythm.

На рис. 2а пациент имеет ЧСС= 90 уд/мин, сердечный ритм близок к ригидному: дисперсия ВСР равна 22 мс2, при ЧД = 125 Гц, средняя погрешность периодограммы в HF диапазоне из-за ошибок дискретизации равна ≈ 40% (см. выше), вероятность выброса на частоте 0.33 Гц принадлежать периодограмме ШСОД равна @ 10-40, следовательно, выброс обусловлен дыхательной аритмией. Кривая F0.00135(wk), выше которой появление выбросов ШСОД мало вероятно, помогает правильно интерпретировать график.

На рис. 2b – периодограмма пожилого обследуемого, ЧСС= 80 уд/мин, дисперсия ВСР относительно низкая - 439 мс2. Запись сделана с ЧД 250 Гц, однако для обработки измерения брались через одно, и для расчетов бралась ЧД = 125 Гц. Функция F0.00135(wk) показывает, что ШСОД в этом случае мало влияют на особенности периодограммы, интересующие врача.

На рис. 2с – периодограмма обследуемого с ЧСС = 67 уд/мин и дисперсией ВСР 4700мс2, ЧД записи 125 Гц. Кривая, ограничивающая значения выбросов периодограммы ШСОД, на этом графике слилась с осью абсцисс.

В заключение отметим, что расчеты по приведенным выше формулам и большое количество обработанных записей ЭКГ показали, что

1)   ШСОД в ULF, VLF и LF диапазонах не искажает периодограмму ВСР при любой ЧД, большей 125 Гц.

2)   Мощность ШСОД в HF диапазоне зависит от ЧСС обследуемого и изменяется при ЧД = 125Гц в пределах от 2.1 мс2 при ЧСС = 90 уд/мин до 9.1 мс2, при ЧСС = 50 уд/мин. Чтобы искажения периодограммы ВСР, произведенные ШСОД были заметными, мощность измеряемого сигнала в этом диапазоне должна быть меньше ~8 мс2 при ЧСС = 90 уд/мин и ~35 мс2 при ЧСС = 50 уд/мин.

Библиографический список

1.     Merry M. et. al. Sampling frequency of the electrocardiogram for spectral analysis of the heart rate variability, IEEE Translations on biomedical engineering, 1990, №1, P. 99-106.

2.     Бахилин В.М. Помехоустойчивые алгоритмы обнаружения характерных точек электрокардиосигналов, Изв. СПбГЭТУ «ЛЭТИ», СПб: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008, №5. С. 56-60.

3.     Теребиж В.Ю. Введение в статистическую теорию обратных задач. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005, 376 с.

4.     PhysioBank, http://physionet.org/physiobank/ (дата обращения 1 февраля 2012г.).