ФИЗИКА/1. Теоретическая физика.

К.ф.-м.н. *Орлов А.В., к.ф.-м.н. Орлов В.Л., к.т.н. Гумиров М.А.,

д.ф.-м.н. Леонов Г.Н.

Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова, *Югорский государственный университет, Россия

Учет упругих напряжений при термодинамическом анализе стабильности металлических фаз

Экстремальное воздействие приводит к тому, что толща металлического материала испытывает действие упругих напряжений и содержит значительные концентрации избыточных вакансий. Поэтому, весь спектр структурно-фазовых превращений в металлах и сплавах следует описывать в рамках модели материала, находящегося при значительных давлениях.

НАПРЯЖЕНИЯ, СОЗДАВАЕМЫЕ ТОЧЕЧНЫМИ ДЕФЕКТАМИ

Наиболее просто определить упругие напряжения, создаваемые точечными дефектами, в модели изотропного, упругого континуума. Точечный дефект решетки любого типа в модели упругого континуума рассматривается как точечный источник деформаций и напряжений в упругой среде. Если имеется не один, а n дефектов, находящихся в точках, характеризуемых радиус-векторами , то результирующее смещение безграничной среды в точке, характеризуемой радиус-вектором , определяется формулой [1]:

                                            (1)

В ограниченном теле смещения, вызванные силами изображения, в общем случае для тела любой формы не могут быть детально прослежены даже для одного дефекта. Поэтому при наличии n дефектов можно лишь говорить о том, что связанное с этими силами результирующее смещение  будет плавно изменяющейся функцией координат на расстояниях порядка размеров тела. Можно показать, что в случае, когда дефекты распределены в теле произвольной формы хаотически и в среднем однородно, и при этом линейные размеры тела значительно превосходят среднее расстояние между дефектами, тело испытывает однородное расширение (или сжатие) без изменения формы (если не учитывать мелких ее локальных искажений вблизи дефектов). На рисунке 1 в качестве примера показано распределение радиальной компоненты упругих напряжений в сферическом образце при равномерном распределении дефектов. При расчете использовалась электростатическая аналогия.

Рисунок 1. Радиальные распределения напряжений srr в сферическом образце для свободной – 1 и жесткой – 2 границы

(металл Fe, относительная концентрация вакансий – 10-4)

Важным представляется тот факт, что при наличии в образце кристалла избыточных вакансий, приблизительно однородно распределенных по объему, возникают упругие растягивающие напряжения, величина которых пропорциональна концентрации вакансий

                                               (2)

Здесь коэффициент В зависит от мощности дефекта, упругих свойств среды, формы и размеров образца. Тогда вклад в химический потенциал атомов, связанный с упругими напряжениями определяется

                                          (3)

где  – атомный объем.

НАПРЯЖЕНИЯ, СОЗДАВАЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТЬЮ

Размер зерна при длительной механоактивации достигает некоторого значения – предела дисперсности, характерного для конкретного материала. Кристаллическая решетка зерна размером в несколько нанометров оказывается свободной от дефектов и достаточно устойчивой. Границы зерен – большеугловые, их толщина имеет размеры, равные нескольким межплоскостным расстояниям.

Существующие экспериментальные факты позволяют представить модель нанокристаллического состояния вещества в виде нескольких основных положений:

1. На границе сферического наноразмерного включения в сплошной матрице действуют силы поверхностного натяжения, вызывающие изменение Ds давления:

                                                      (4)

где  – радиус зерна,  - коэффициент поверхностного натяжения, определяемый коэффициентом  на свободной границе и различием в концентрации атомов (вакансий) на границе зерна. Так как межзеренная граница содержит высокие концентрации структурных вакансий, то введение поверхностного натяжения вполне оправдано.

Если описание границы зерна соответствует представлению о геометрической разделяющей поверхности Гиббса, то

                                                    (5)

Если описание границы зерна соответствует представлению о существовании переходной зоны конечной толщины с непрерывным изменением свойств, то

                                                 (6)

где x1, x2 – радиусы, определяющие границы переходной зоны.

2. Действие сил поверхностного натяжения приводит к тому, что область внутри зерна оказывается под действием сжимающих напряжений, в то время как вне зерна действуют растягивающие напряжения. Оценка напряжений может быть проведена в рамках модели упругого континуума [2]. Пусть в однородной изотропной металлической матрице имеется сферическое включение (зерно) радиусом x. Поместим начало сферической системы координат в центре включения. Используем уравнения равновесия теории упругости с граничными условиями

                        (7)

Здесь  – радиальные смещения,  – радиальная компонента тензора упругих напряжений,  – коэффициент поверхностного натяжения. Индекс 1 относится к области вне включения (r>x), а 2 – к области внутри включения (r<x). С учетом граничных условий выражения радиальных компонент тензоров упругих напряжений принимают вид

                                      (8)

Здесь  – модули упругости первой и второй областей,  – коэффициент Пуассона.

УЧЕТ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ЭНТРОПИИ

Рассмотрим бинарный сплав, находящийся под действием внешнего всестороннего давления, не вызывающего пластической деформации. Для описания атомных колебаний в многокомпонентных сплавах удобно использовать представление об ансамбле гармонических осцилляторов – колебаниях двух соседних атомов относительно общего центра масс. В бинарном сплаве имеется три таких ансамбля, связанных с колебаниями пар А-А, В-В и А-В. При выделении одного осциллятора (пары атомов) следует учитывать дополнительные осциллирующие силы со стороны соседних атомов. Однако нестационарное уравнение Шредингера дает одинаковые решения для случаев потенциальных энергий  для любых . Таким образом, могут быть построены статистические суммы для трех канонических ансамблей и определена плотность свободной энергии для тепловых колебаний атомов. Наиболее просто свободная энергия выражается в приближении Эйнштейна:

   (9)

Для того чтобы связать внешнее давление и свободную энергию атомных колебаний, удобно воспользоваться соотношением Грюнайзена: , где - постоянная Грюнайзена. Указанное соотношение связывает изменение частоты атомных колебаний с изменением объема, которое, в свою очередь, определяется давлением: , где - модуль всестороннего сжатия. В итоге может быть получено:

 .                               (10)

Здесь - модуль упругости, - коэффициент Пуассона. Величина характеризует связи определенного типа. Так  рассчитываются по характеристикам чистых металлов. В первом приближении можно использовать

Далее полезно рассмотреть функцию  На рисунке 2 представлены рассчитанные зависимости  для различных параметров .

Рисунок 2. Функция .

Цифры у кривых соответствуют значениям параметра .

Из рисунка видно, что для не слишком больших давлений зависимость  является практически линейной. Об этом же свидетельствует разложение  Изменение свободной энергии при приложении давления имеет вид:

                                            (11)

Вклады в химические потенциалы, обусловленные внешним давлением, определяются выражениями:

                                    (12)

Обсуждение результатов

Упругие напряжения, возникающие при экстремальных воздействиях на металлические системы, изменяют локальные химические потенциалы и способны существенным образом влиять на структурно-фазовые превращения, а, следовательно, должны учитываться при термодинамическом анализе.

Литература:

1.  Смирнов А.А. Теория сплавов внедрения. – М.: Наука, 1979. – 368с.

2.  Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. – М.: Наука, 1987. – 250 с.