Д.т.н., профессор «БашГУ»

Сулейманов Н.Т.

Башкирский государственный университет, Россия

Аналогия между оптическими и электрическими цепями в случае описания распространения светового луча по волоконному световоду согласно уравнений Максвелла

Основные уравнения электромагнитного поля – уравнения Максвелла обобщают два закона электродинамики: закон полного тока и закон электромагнитной индукции.

Закон полного тока устанавливает количественные соотношения между напряженностью магнитного поля Н и током I:

(1)

где I включает в себя ток проводимости и смещения.

Закон электромагнитной индукции устанавливает соотношение между протяженностью электрического поля E и магнитным полем =µS и имеет вид:

(2)

Приведенные уравнения (1) и (2) дают интегральную запись уравнений Максвелла.

Но в основном используются уравнения в дифференциальной форме

(3)

(4)

где σ, ε, µ - соответственно проводимость, диэлектрическая и магнитная проницаемость среды.

Кроме того, используются вспомогательные уравнения

(5)

где - объемная плотность зарядов.

В уравнении (3) - ток проводимости, Iпр , т.е. ток в металлических массах, а - ток смещения, Iсм т.е. ток в диэлектрике.

В металлических средах Iпр>>Iсм, т.е. ≈α, а диэлектрике Iсм >> Iпр, т.е. = 0.

Уравнение (3) означает, что электрическое поле создает вокруг себя линии магнитного поля, а уравнение (4) означает, что всякое изменение магнитного поля сопровождается образованием электрического поля. В целом действует и распространяются комплексное электромагнитное поле, переносящее энергию в атмосфере, в кабелях, волноводах, световодах и в любых других направляющих системах.

Процессы в световодах, а также в атмосфере описываются уравнениями

(6)

где = ε(1+ – комплексная диэлектрическая проницаемость;

s – угол диэлектрических потерь.

Уравнения Максвелла справедливы и могут быть записаны в любой системе координат.

Электромагнитное поле в световоде (проводимость δ = 0) характеризуется следующими параметрами:

- коэффициентом распространения j = iω;

- коэффициентом фазы ;

- коэффициентом затухания I = 0;

- скоростью распространения волны ;

- волновым сопротивлением Z_в = .

В свободном пространстве (µ = ε = 1) V = C = 30000 км/сек и Z_в = 376,7 ом.

Установим, какие параметры физического электромагнитного поля соответствуют оптическим характеристикам световода, т.е. определим условия перехода от поля в световоде к эквивалентной цепи с распределенными оптическими параметрами, обеспечивающей достаточную точность расчета интегральных характеристик поля направляющей системы. Для этого воспользуемся уравнениями Максвелла, описывающими волну в световоде (6). Рассмотрим одномерный случай. Предположим, что в уравнениях (6) Н имеет только y – составляющую, зависящую от z. Тогда Е должен иметь только x составляющую. Будем искать (z) и (z) в виде некоторых функций I (z) и U (z):

(7)

где А и В неизвестные пока коэффициенты;

и - единичные векторы вдоль координатных осей x и y соответственно.

Для установления аналогии воспользуемся первым энергетическим критерием.

Комплексная мощность, переносимая через поперечное сечение s световода, определяется по формуле

Учитывая соотношения (7) будем иметь:

(8)

где S – площадь поперечного сечения световода.

С другой стороны, согласно известной формуле теории длинных линий, мощность в цепи с током I(z) и напряжением U(z) будет равна величине

(9)

Сравнивая формулы (8) и (9) видим, что если в выражениях (7) функции и имеют смыслы токов и напряжений, то коэффициенты А и В должны удовлетворять условию

(10)

Из выражений (7) и (10) следует, что А и В измеряются в .

Подставим равенство (7) в уравнение (6) (полагая, что , где σ – проводимость световода ).

или

(11)

Сравнивая выражения (11) с законами Кирхгофа и Ома для электрических цепей имеем

(12)

Отсюда видим, что имеет место следующие соответствия:

; ; , ,

где , , , - соответственно проводимость, емкость, сопротивление и индуктивность эквивалентной цепи.

Для реальных световодов аналогичные рассуждения приводят к следующей системе соответствий:

, ,

где , – комплексные магнитные и диэлектрические проницаемости, вводимые для учета потерь в направляющей системе, а коэффициенты А и В удовлетворяют соотношению (11). При этом в качестве А и В можно взять следующие величины:

а) для прямоугольного световода ; , соответственно ширина и высота световода;

б) для круглого световода , где R – радиус поперечного сечения световода.

Такая система аналогий переводит в одномерном случае математическую модель прохождения излучения по световоду с языка теории поля на язык теории электрических цепей.

Данное обоснование можно повторить для трехмерного случая электромагнитного поля, когда компоненты векторов Н и Е зависят от координат x, y, z.

Исходя из изложенного, величины и параметры оптических цепей для волоконных световодов в электромагнитном представлении имеют вид (таблица 1).

L

Уравнение Максвелла, описываемых электромагнитное поле в световоде можно сопоставить эквивалентные схемы. Рис. 1, соответствует обобщенному уравнению длинной линии, а рис. 2 уравнению длинной линии без потерь с предельным значением волнового сопротивления.

R_oт

Рис. 1.

R_oт

Рис. 2.

Литература

1. Зарипов М.Ф., Сулейманов Н.Т., Петрова И.Ю. Надежность элементов и средств управления с распределенными параметрами. «Наука», М., 1980.

2. Харкевич А.А. Теория электроакустических преобразователей. Волновые процессы. I т.избр.труды, «Наука», М., 1973.

3. Сулейманов Н.Т., Надыров Р.Г., Нигматов Ж.М. Идентификация систем с определенными оптическими параметрами. В сб. Теория информационных систем и систем управления с распределенными параметрами. «Наука», М., 1978.

4. Зарипов М.Ф., Сулейманов Н.Т., Петрова И.Ю. Информационные модели и межцепные эффекты в оптических элементах систем управления. Академия наук СССР Уфимский филиал, Уфа, 1980.

5. Сулейманов Н.Т. Способы решения задач построения волоконно-оптических систем обнаружения несанкционированных врезок в магистральные трубопроводы. БашГУ, 2011.