Крестьянинов Я

Крестьянинов Я.А.

Лесосибирский педагогический институт – филиал ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет»

Парадоксы теории множеств

В 1870 году немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством»

Эта программа, получила широкое развитие в конце XIX века, и, казалось позволила возвести математику на надежном фундаменте. Развитие канторовой теории множеств привело к возможности выразить в терминах этой теории все основные математические понятия. По словам Гильберта возможность построения математики на теоретико-множественном фундаменте «рай для математиков». Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с бесконечными множествами является ошибочной.

А именно, был обнаружен ряд парадоксов: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями, а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение.

Наибольшую известность среди открытых парадоксов получили:

Парадокс Бурали Форти

Формируется следующим образом: Можно доказать, что если — произвольное множество порядковых чисел, то множество-сумма $\textstyle\bigcup x$ есть порядковое число, большее или равное каждому из элементов . Предположим теперь, что $\Omega$ — множество всех порядковых чисел. Тогда $\textstyle\bigcup \Omega$ — порядковое число, большее или равное любому из чисел в $\Omega$ . Но тогда и $\textstyle\bigcup \Omega \cup \{\bigcup \Omega\} = \bigcup \Omega + 1$ — порядковое число, причём уже строго большее, а значит, и не равное любому из чисел в $\Omega$ . Но это противоречит условию, по которому $\Omega$ — множество всех порядковых чисел.

Несуществование множества всех порядковых чисел противоречит концепции наивной теории множеств, разрешающей построение множеств с произвольным свойством элементов, то есть термов вида «множество всех таких, что » ( $\{x \mid P\}$ ).

Современная аксиоматическая теория множеств накладывает строгие ограничения на вид условия , с помощью которого можно образовывать множества. В аксиоматических системах типа Гёделя — Бернайса позволяется образование терма $\{x \mid P\}$ для произвольных , но с оговоркой, что он может оказаться не множеством, а собственно классом.

Парадокс Кантора

Формулировка: Предположим, что множество всех множеств $V = \{x \mid x = x\}$ существует. В этом случае справедливо $\forall x \forall t (x \in t \rightarrow x \in V)$ , то есть всякое множество является подмножеством . Но из этого следует $\forall t\; |t| \leqslant |V|$ — мощность любого множества не превосходит мощности .

Но в силу аксиомы множества всех подмножеств, для , как и любого множества, существует множество всех подмножеств $\mathcal P(V)$ , и по теореме Кантора $|\mathcal P (V)| = 2^{|V|} > |V|$ , что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, не может существовать, что вступает в противоречие с гипотезой о том, что любое синтаксически корректное логическое условие определяет множество, то есть что $\exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow A)$ для любой формулы , не содержащей свободно.

В аксиоматической теории множеств схема аксиом $\exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow A)$ отвергнута как противоречивая, вместо этого была разработана система ограничений на вид условия, задаваемого формулой .

Парадокс Рассела

Формулировка: Пусть — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению , оно не должно быть элементом — противоречие. Если нет — то, по определению , оно должно быть элементом — вновь противоречие.

В 1925 году венгерский математик Джон фон Нейман дополнил теорию ZFC аксиомой регулярности: В любом непустом семействе множеств есть множество , каждый элемент которого не принадлежит данному семейству .

Одно из следствий этой аксиомы: Никакое множество не является элементом самого себя ( $~ \forall a \ (a \notin a)$ ) «похоронило» парадокс Рассела.

После обнаружения парадокса Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток строго обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наиболее ответственной за возникновение противоречий, на основе заведомо надёжной финитной математики. Логический аппарат усовершенствовал Бертран Рассел в работах, позднее собранных в его монографии «Начала математики» (1910—1913). В 1904—1908 гг. Эрнст Цермело предложил первую версию аксиоматической теории множеств.

Литература:

1. Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. - М.: Мир, 1966. — 556 с.

2. Ященко И.В. Парадоксы теории множеств. - М.: МЦНМО, 2002.—40 с.