К.ф.-м.н. Е.А. Будылина,

Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ)

д.т.н., профессор А.М. Данилов, к.т.н. А.Н. Круглова

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

Тренажеры транспортных систем: оценка влияния

зоны нечувствительности и запаздывания

Рассматривается эргатическая транспортная система, техническая часть которой имеет вид, приводимый на рис.1.

Рис. 1

Передаточная функция W(P) соответствует линейной системе

Определим зависимость выходных координат , от параметров системы. Разобьем последнюю на две подсистемы:

;

.

Преобразование Р определяется запаздыванием и зоной нечувствительности. Примем:. Однородная часть системы (1) полностью определяется инвариантами системы ;.

По предыдущему получим:

,; , .

Методом вариации произвольных постоянных с учетом начальных условий, получим представления , через параметры системы и входные воздействия:

, .

Вронскиан ;собственные функции , определяются по характеристическому уравнению.

Отметим, в силу , неизбежно возникает вопрос о дифференцируемости входного сигнала. Однако, на самом деле, в приведенных представлениях имеем интегралы вида с бесконечно дифференцируемой функцией . Поэтому интегрируя по частям

(), получим формулы, в которых отсутствуют производные функции . Отсюда следует, что дифференцируемости входного сигнала не требуется.

При двух различных действительных корнях ,

.

При имеем

.

Наконец, при , имеем:

.

Если , , малы, то с учетом , , приведенные формулы существенно упрощаются (для всех трех случаев):

- при линейной аппроксимации ;

- при квадратичной аппроксимации

Так как реальные системы асимптотически устойчивы (), то при больших множители , малы (малы и подынтегральные выражения). Приведенные аппроксимационные формулы можно использовать при решении многих прикладных задач (в частности, при разработке имитатора динамики полета авиационного тренажера с учетом короткопериодической составляющей продольного движения самолета).

Количественный анализ влияния преобразования Р на выходные координаты системы , возможен лишь для некоторых случаев. В частности, сравним выходные координаты двух систем:

,

при входном сигнале

Для рассматриваемых здесь систем . Без ограничения общности можно принять начальные условия нулевыми .

При для первой системы имеем:

.

А для второй системы:

(принято ).

Используя аппроксимационные формулы, легко получить и , а также относительную варианту

.

Зависимости координат от параметров матрицы В легко просматриваются в самом общем виде. Это следует из того, что элементы матрицы В являются коэффициентами в выражениях для функций , :

, . (17)

Функции , входят множителями в формулы расчета , (см. (10)-(14) при нулевых начальных условиях). При (напомним, что для реальных систем рассматриваемого класса ), то изменение коэффициента на р% влечет изменение соответственно на р%.

В заключение, определим зависимость выходных координат от коэффициентов матрицы А. При линейной аппроксимации зависимость не просматривается. При квадратичной аппроксимации ядра интегрального оператора в аппроксимационной формуле видна зависимость от . Количественные оценки легко получить для конкретных систем (конкретных вариаций ). В аппроксимационных формулах 3-го порядка видна зависимость также и от . Так в случае действительных различных корней:

.

Таким образом, зависимость от и проявляется при больших . Множители , в интегралах – малы (реальные системы устойчивы: ), поэтому зависимость от коэффициентов матрицы А проявляется слабее.