А.И. Долгарев

НОВЫЙ ВИД ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ ГАУССА

В ЕВКЛИДОВОЙ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

 

Известна теорема Гаусса о том, что полная кривизна евклидовой регулярной поверхности относится к ее внутренней геометрии; она выражается через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности и производные первого и второго порядка этих коэффициентов, [1, с. 347]. Ниже приведено еще одно доказательство указанного факта, значительно более простое, чем известные, и простой аналог формулы Гаусса, который, к тому же, не содержит производных второго порядка.

 

1. Явно заданная евклидова поверхность

            Евклидова регулярная поверхность может быть задана дважды дифференцируемой явной функцией

(1)                                              ,  .

Эту же поверхность можно задать векторной функцией

(2)                                                     = .

Производные векторной функции таковы

(3)          ,  ,  ,  ,  .

Первая основная дифференциальная квадратичная форма поверхности (2) имеет вид

,

ее коэффициенты вычисляются по формулам

(4)                                                 , ,  .

Вторая основная дифференциальная квадратичная форма поверхности (2) есть

,

ее коэффициенты

(5)                          ,  ,  ,  .

Полная, или Гауссова кривизна поверхности равна

(6)                                                           .

Используя значения производных (3) и формулы коэффициентов (4), (5), имеем следующие выражения коэффициентов первой и второй квадратичных форм поверхности (1)  через производные функции .

(7)                                           ,  ,  ;

(8)                                             ,  ,  .

 

2. Формула Гаусса для явно заданной поверхности

1. ТЕОРЕМА. Для явно заданной поверхности (1) полная кривизна выражается через коэффициенты ее первой квадратичной формы и производные первого порядка этих коэффициентов и имеет вид

(9)                                                    .

# Коэффициенты второй квадратичной формы поверхности (1) выражены через производные второго порядка функции (1) и детерминант первой квадратичной формы поверхности, (8). Производные второго порядка  функции (1) можно получить, дифференцируя формулы (7) для коэффициентов первой квадратичной формы поверхности (1).

По первой и третьей формулам в (7) имеем

,  ,

отсюда, соответственно,

,  .

Подставляем найденные значения в первую и третью формулы в (8):

(10)                                                ,  .

Снова по первой и второй формулам в (7) находим

,  ,

откуда

,  .

С учетом второй формулы из (7) имеем

.

Вторая формула из (8) дает

(11)                                                         .

Найденные выражения (10) и (11) коэффициентов второй квадратичной формы через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности подставляем в (6), применяем вторую формулу из (7) и получаем (9). #

 

3. Полная кривизна полусферы

            Вычислим по (9) полную кривизну верхней полусферы

,  .

Находим производные заданной функции

,  ;

,  ,  .

По (7) имеем значения коэффициентов первой квадратичной формы полусферы

,  ,  .

Находим детерминант первой квадратичной формы

.

Вычисляем по (8) коэффициенты второй квадратичной формы полусферы

,  ,  .

Так как

,

то, по (6), полная кривизна полусферы равна

.

            Производные коэффициентов первой квадратичной формы полусферы таковы

, , , .

Согласно формуле (9), вычисляем:

,

.

По формулам (6) и (9) получен один и тот же результат. Доказательство формулы (9) дано в п.2, в рассмотренном примере имеется подтверждение формулы (9) в частном случае.

 

4. О теореме Гаусса для регулярной поверхности, заданной векторной функцией

            Регулярная евклидова поверхность описывается векторной функцией

(12)                               = ,  .

Считается, что область  задания поверхности принадлежит евклидовой плоскости, расположение этой плоскости в евклидовом пространстве произвольно. В учебниках по дифференциальной евклидовой геометрии отмечается, что от задания (12) регулярной поверхности можно перейти к неявному заданию той же поверхности ,

а это неявная функция для функции

переменной  параметров , см., например, [1, с. 209 – 211] и [2, с. 72 – 73], существование явного задания поверхности обеспечено регулярностью поверхности.

            Таким образом, имея векторно заданную регулярную поверхность, мы имеем ту же поверхность в явном задании. Теорема 1 устанавливает, что полная кривизна явно заданной поверхности относится к ее внутренней геометрии. Согласно приведенным выше рассуждениям, справедлива известная

            2. ТЕОРЕМА. Независимо от способа задания, полная кривизна регулярной евклидовой поверхности относится к внутренней геометрии поверхности.

 

5. О порядке производных функции, задающей регулярную поверхность,

входящих в формулу Гаусса

            В формулировке теоремы Гаусса в [1, с. 209] указано, что полная кривизна поверхности зависит и от производных первого и второго порядка коэффициентов первой дифференциальной формы регулярной поверхности.

            3. ТЕРЕМА. Полная кривизна регулярной евклидовой поверхности зависит от коэффициентов первой квадратичной формы поверхности и производных первого порядка этих коэффициентов.

            #  Утверждение есть следствие вида формулы (9). #

Согласно формулам (6), (4) и (5), полная кривизна регулярной поверхности есть функция производных первого и второго порядков функции, задающей поверхность. Нет оснований ожидать, что порядки производных функции, задающей поверхность, повысятся в формуле Гаусса, выражающей полную кривизну поверхности только через коэффициенты ее первой квадратичной формы. Указанное свойство выполняется в формуле (9). Но в формуле Гаусса, приведенной в [3, с. 133],

(13)                         ,

это свойство нарушено. Формула содержит производные третьего порядка – производные от производных первого порядка коэффициентов первой квадратичной формы поверхности. Но указанная формула, тем не менее, может иметь место. Приведем пример поверхности, доказывающий неверность формулы (13) и исправим формулу.

            Рассмотрим эллиптический параболоид

 = .

Производные первого порядка функции : . Коэффициенты первой квадратичной формы параболоида: . И находим производные коэффициентов: , . Определитель первой квадратичной формы равен . Вычислим входящий в (13) определитель.

.

Находим:

; .

Теперь, по (13),

 - .

Возможно, в [3, с. 133] опечатка; в случае, если (13) исправить следующим образом:

(14)                   ,

получаем и по (13) и по (6) один и тот же результат . Так дело обстоит в рассматриваемом примере, а как в общем случае – неизвестно.

            Теорема 3 верна; но есть случаи, например, формула (14), зависящие от способа доказательства формулы Гаусса, в которых полная (Гауссова) кривизна поверхности зависит только от коэффициентов ее первой квадратичной формы и производных первого и второго порядка этих коэффициентов.

Использованная литература.

  1. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.: Гостехиздат, 1956. 420с.
  2. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. - М.: Наука, 1979. - 560с.

3.      Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Изд-во МГУ, 1990. – 384с.