Доповідь/Технічні науки – Автоматизовані системи управління на виробництві

УДК: 681.513.52:622.691.4

Гіренко С.Г., Давиденко Л.І., Мандрика Я.Р., Семенцов Г.Н.

Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РУХУ ГАЗУ У ВІДЦЕНТРОВОМУ НАГНІТАЧІ І ВИЗНАЧЕННЯ УМОВ ЙОГО ДИНАМІЧНОЇ СТІЙКОСТІ

З метою вибору контрольованих параметрів та обгрунтування напрямків удосконалення автоматичного антипомпажного регулювання відцентрового нагнітача та подальших досліджень визначимо умови його динамічної стійкості.

Виходитимимо з того, що відносна характеристика відцентрового нагнітача (ВН) задана залежністю [1,2]

,                                             (1)

де Рна – абсолютний тиск газу за відцентровим нагнітачем;

    Р1а – абсолютний повний тиск перед ВН;

    Q0 – об’ємна продуктивність на вході ВН.

В усталеному режимі роботи ВН, якщо знехтувати втратами на тертя у вихідному трубопроводі, тиск Рм перед входом в мережу дорівнюватиме тиску Рн, а об’ємна продуктивність Qн за ВН дорівнюватиме об’ємній продуктивності через дроссель QR.

Проте, в перехідних режимах Рм ≠ Рн і Qн ≠ QR.

Друге припущення сформулюємо стосовно змінного опору мережі. Характеристику мережі розглядатимо у вигляді такої залежності [1,2]

Рм = Рма – Р0 = φ(QR) ,                                         (2)

де Рм – надлишковий тиск перед входом в мережу;

   Рма – абсолютний тиск перед входом в мережу.

         Зробимо також припущення, що складна розподілена система, яка створена ВН з приєднаними до нього трубопроводами і мережою, може бути замінена системою з одним ступенем вільності, яким є тиск газу. Тоді тиск Р1а перед ВН не дорівнює тиску Р0 на його вході. Він зменшується на величину ΔР, яка витрачається на подолання сили інерції газу у вихідному трубопроводі, тобто

ΔР = Р0 - Р1а.                                                  (3)

         Якщо припустимо, що густина газу ρ0 = const, то тоді на основі теореми про зміну кількості руху отримаємо [2]

,                                                (4)

де m = ρ0·s1·l1 – маса газу у вхідному трубопроводі;

   s1 ,l1 – площа перерізу і довжина вхідного трубопроводу;

   V = Q0 /s1 – швидкість руху газу;

   Q0 – об’ємна продуктивність перед ВН;

   F = s1(Р0 - Р1а) – сила, яка дорівнює добутку різниці тисків на площу перерізу труби.

         Отже вираз (3) після підстановки в нього значень m , V i F , має вигляд:

,

або                                                  .                                           (5)

Тоді тиск перед ВН дорівнюватиме

 ,                                         (6)

де   -  має назву акустичної маси вхідного трубопроводу [2,3].

Отже

 .                                         (7)

Що стосується тиску газу за відцентровим нагнітачем, то він визначається його характеристикою (1), а саме

Рна = Р1а · f(Q0) .                                              (8)

або з урахуванням рівняння (6)

 .                                  (9)

Тепер розглянемо вихідний трубопровід ВН. Слід відзначити, що вихідний трубопровід грає роль частково інерційної ланки, а частково ємнісної. Відомо [1], що, якщо труба має циліндричну форму, тоді можна приблизно половину труби віднести до інерційного елементу з акустичною масою Lа2, а половину – до ємнісного з акустичною гнучкістю Са. Зокрема, якщо зосереджений повітряний об’єм V ≈0, тоді

 ,                                             (10)

 ,                                             (11)

де l2 , s2 – довжина і площа перерізу вихідного трубопроводу;

     c – швидкість звуку у вихідному трубопроводі.

         Відзначимо, що розглядається випадок, коли гідравлічний опір дуже малий і нехтуємо перепадом висот.

Зважаючи на це, тиск перед вихідним дросселем дорівнюватиме

 ,                                     (12)

або, якщо врахувати рівняння (9), тоді

,                  (13)

де Рма – тиск перед дросселем;

      - із рівняння нерозривності, яке відображає закон збереження речовини стосовно газового потоку [2,4].

         Після підстановки в рівняння (13), значення , отримаємо

,

або                             .                        (14)

Із рівняння (14) отримаємо диференціальне рівняння для швидкості зміни об’ємної продуктивності Q0 у такому вигляді:

.                      (15)

Тут  = La – акустична маса трубопроводу [1].

         Тепер розглянемо нагнітальну частину досліджуваної системи, що зображена на рис.1.

Рис. 1 . Схематичне зображення відцентрового нагнітача газу як об’єкта моделювання: 1 – вхідний трубопровід; 2 – відцентровий нагнітач; 3 – вихідний трубопровід; 4 – повітряний об’єм; 5 – змінний опір мережі у вигляді дросселю

 

Для цього скористаємося другим диференційним рівняння [1,2] руху газу системи, що розглядається:

,                                    (16)

де  - швидкість звуку за ВН в нагнітальному трубопроводі за умови, що процес стиснення газу є адіабатичний і під час помпажу спостерігається коливальний процес;

 ;

де   γ – показник адіабати.

     - характеристика компресора [6].

Підставивши значення с1 і в рівняння (16), отримаємо

.                (17)

Для м’якого помпажу, коли можна вважати [1], що , рівняння (16) набуває спрощеного вигляду

.                            (18)

         Якщо тепер перейти від витрат Qн і QR , віднесених до тисків Рн і Рм , до витрат Q0 і QR0, де QR0 – витрата через вихідний дроссель, яка віднесена до параметрів на вході, тобто   , то отримаємо

.                         (19)

Підставивши значення  із (19) в рівняння (17) і (16), отримаємо рівняння для швидкості зміни тиску перед дросселем:

  .                            (20)

         Нелінійні диференційні рівняння (15) і (20) створюють систему з одним ступенем вільності:

         Розділивши рівняння (21) і (22) почленно одне на друге, тобто виключивши із системи цих рівнянь час, отримаємо рівняння фазових траєкторій у диференційній формі:

.                   (23)

 

         Граничний цикл, побудований за цим рівнянням, дає змогу визначити амплітуду автоколивань, яка приблизно дорівнює відрізку на осі абсцис всередині граничного циклу і частоту автоколивань, яка дорівнює відношенню значень відрізка на осі ординат до значення відрізка на осі абсцис.

Рівняння (23) дає змогу обгрунтовано вибрати параметри, які характеризують явище помпажу у ВН і використати їх для створення автоматичної системи контролю і антипомпажного регулювання. Будемо враховувати, що й те, що під час помпажу у ВН виникають вертикальні і горизонтальні вібропереміщення передньої і задньої опор нагнітача, а також його осьовий зсув. Для вибору найбільш повного набору параметрів з досліджуваної сукупності скористаємося також методом експертних оцінок.

Висновок

В ході проведення теоретичних досліджень щодо удосконалення методу автоматичного антипомпажного регулювання відцентрового нагнітача дотискувальної компресорної станції розглянуто математичну модель руху газу у відцентровому нагнітачі і рівняння фазових траєкторій, яке характеризує явище помпажу, що дало змогу визначити умови динамічної стійкості ВН,  обгрунтовано вибрати комплекс параметрів, які характеризують явище помпажу у ВН,  і використати їх для створення автоматичної системи контролю і антипомпажного регулювання.

Література:

1. Козакевич В.В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах / В.В. Козакевич. – М.: Машиностроение.– 1974.– 264 с.

2. Трубопровідний транспорт газу / [Ковалко М.П., Грудз В.Я., Михалків В.Б., Тимків Д.Ф., Шлапак Л.С., Ковалко О.М.]: за редакцією М.П.Ковалка.– Київ: Агенство з раціонального використання енергії та екології, 2002.–600с.

3. Измайлов Р.А. Нестационарные процессы в центробежных компрессорах /Р.А.Измайлов, К.П.Селезнев // Химическое и нефтяное машиностроение.–  1995.–  №11.– С.20-24.

4. Гіренко С.Г. Автоматичне антипомпажне регулювання відцентрового нагнітача дотискувальної компресорної станції: автореф. дис. на здобуття наук. степеня канд. техн. наук: спец.: 05.13.07 «Автоматизація процесів керування» / С.Г.Гіренко. – Івано-Франківськ., 2010. –  187с.