Каряченко Н.В.

Национальная металлургическая академия Украины

 

диф­фе­рен­ци­аль­но­Е урав­не­ниЕ по­пе­реч­ных

ко­ле­ба­ний ка­на­тов ГРУЗОТРАНСПОРТИРУЮЩИХ

УСТРОЙСТВ С ПОДВИЖНОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ

НАГРУЗКОЙ  в об­щем ви­де

 

         По­пе­реч­ные ко­ле­ба­ния ка­на­тов име­ют боль­шое влия­ние на ди­на­ми­ку гру­зо­транс­пор­ти­рую­щих ка­нат­ных уст­ройств, не­су­щих под­виж­ную инер­ци­аль­ную на­груз­ку. По­это­му, ис­сле­до­ва­ние по­пе­реч­ных ко­ле­ба­ний ка­на­тов та­ких уст­ройств яв­ля­ет­ся важ­ной и ак­ту­аль­ной за­да­чей, без ре­ше­ния ко­то­рой не­воз­мож­но пра­виль­но ка­че­ст­вен­но и ко­ли­че­ст­вен­но оце­нить ди­на­ми­че­ские про­цес­сы, про­ис­хо­дя­щие в этих сис­те­мах.

         За­да­ча об изу­че­нии по­пе­реч­ных ко­ле­ба­ний ка­на­тов с под­виж­ной рас­пре­де­лен­ной и со­сре­до­то­чен­ной инер­ци­аль­ной на­груз­кой сво­дит­ся к ре­ше­нию ли­ней­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний ги­пер­бо­ли­че­ско­го ти­па со сме­шан­ной про­из­вод­ной. При­ме­не­ние клас­си­че­ской схе­мы раз­де­ле­ния пе­ре­мен­ных в дей­ст­ви­тель­ной об­лас­ти ис­ко­мых функ­ций к ре­ше­нию та­ких урав­не­ний не­воз­мож­но. Раз­де­ле­ние пе­ре­мен­ных не­клас­си­че­ским спо­со­бом [1-3], в ос­но­ву ко­то­ро­го по­ло­жен вы­бор ре­ше­ния в ви­де спе­ци­аль­но­го двух­член­но­го пред­став­ле­ния, при­во­дит к при­бли­жен­ным, а в ря­де за­дач  точ­ным, ре­ше­ни­ям этих урав­не­ний.

         Рас­смот­рим малые по­пе­реч­ные ко­ле­ба­ния ка­на­та од­ной из вет­вей гру­зо­транс­пор­ти­рую­щей ка­нат­ной ус­та­нов­ки, со­сто­ящей из двух шки­вов с на­тя­ну­тым на них уп­ру­гим ка­на­том, дви­жу­щим­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью с при­кре­п­лен­ны­ми к не­му на рав­ных рас­стоя­ни­ях со­сре­до­то­чен­ны­ми гру­за­ми. Ка­нат мо­де­ли­ру­ем гиб­кой ни­тью, от­ра­жаю­щей его фи­зи­че­ские свой­ст­ва. Для уче­та масс со­сре­до­то­чен­ных гру­зов в вы­ра­же­нии по­гон­ной мас­сы ка­на­та ис­поль­зу­ем дель­та-функ­цию Ди­ра­ка d(x). Опи­ра­ясь на об­щую по­ста­нов­ку за­да­чи, после необходимых преобразований, пре­неб­ре­гая бес­ко­неч­но ма­лы­ми бо­лее вы­со­ко­го по­ряд­ка ма­ло­сти, после перехода к неподвижной системе координат диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние одной из вет­вей ка­на­та примет вид

      (1)

где  - погонная масса каната и прикрепленных к нему грузов в неподвижной системе координат, при постоянной скорости движения v подвижной системы координат, связанной с канатом, и постоянной во времени геометрической области изменения координаты ;  - расстояние между центрами шкивов; - по­пе­реч­ное от­кло­не­ние одной из ветвей каната; Т - натяжение каната.    

Переходя в уравнении (1) к безразмерным координатам и времени

а также учи­ты­вая ма­лую ско­рость дви­же­ния, т.е. ма­лое из­ме­не­ние положения эле­мен­та вдоль оси за пе­ри­од ко­ле­ба­ний, и вводя ма­лый без­раз­мер­ный па­ра­метр

диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние по­пе­реч­ных ко­ле­ба­ний ка­на­та при­мет вид:

                             (2)

с границами изменения .

В уравнении (2)  - час­то­та ко­ле­ба­ний од­но­род­но­го ка­на­та за­кре­п­лен­но­го по кон­цам, рав­ная , .

Дифференциальное уравнение (2) не­об­хо­ди­мо ре­шить при сле­дую­щих гра­нич­ных и на­чаль­ных ус­ло­ви­ях

                                                                                     (3)

                                                                      (4)

         В (2) вы­ра­же­ние et, учитывая его малость, так как время движения ограничено, будем рассматривать как параметр, а также будем пренебрегать в этом уравнении членом, имеющим множителем e2.

Ес­ли на ка­на­те по­сто­ян­ной по­гон­ной мас­сы име­ют­ся со­сре­до­то­чен­ные гру­зы, то вы­ра­же­ние для r мож­но пре­об­ра­зо­вать к сле­дую­ще­му ви­ду, сле­дуя [4]

                     

где ,  - погонная масса каната,  - масса груза, сосредоточенного в точке .

Ре­ше­ние не­од­но­род­но­го урав­не­ния (2), со­стоит из сум­мы об­ще­го ре­ше­ния од­но­род­но­го урав­не­ния w(x,t) и ча­ст­но­го ре­ше­ния не­од­но­род­но­го урав­не­ния w0(x)

                   

где w(x,t)- удов­ле­тво­ря­ет од­но­род­но­му урав­не­нию, со­от­вет­ст­вую­ще­му (2), w0(x) -  удов­ле­тво­ря­ет урав­не­нию (6), за­пи­сан­но­му с уче­том вы­ра­же­ния для r.

Учи­ты­вая вид гра­нич­ных ус­ло­вий для w1(x,t) (3), мож­но ут­вер­ждать, что ес­ли w(x,t) и w0(x) бу­дут удов­ле­тво­рять (3), то и сум­ма их, рав­ная w1(x,t), бу­дет удов­ле­тво­рять этим гра­нич­ным ус­ло­ви­ям.

         Построим частное решение неоднородного дифференциального уравнения, соответствующего (2). С уче­том вы­ра­же­ния для r, за­пи­шем урав­не­ние, удов­ле­тво­ряю­щее w0(x)

                                                                (5)

         Ис­поль­зуя пре­об­ра­зо­ва­ние Ла­п­ла­са [5] пе­рей­дем в (5) к изо­бра­же­нию функ­ции w0(x), учи­ты­вая, что w0(0) = 0

откуда  запишется в виде

Переходя обратно от изображения F(p) к оригиналу, получим

                       (6)

Из второго граничного условия  определим

.

         Окон­ча­тель­но, за­пи­шем ча­ст­ное ре­ше­ние не­од­но­род­но­го урав­не­ния, со­от­вет­ст­вую­щее урав­не­нию (2)

 

Литература.

1. Го­рош­ко О.А. Соб­ст­вен­ные и “со­про­во­ж­даю­щие” ко­ле­ба­ния в сис­те­мах с под­виж­ны­ми инер­ци­он­ны­ми на­груз­ка­ми // Тр.5-й Ме­ж­ду­нар. конф. по не­ли­ней­ным ко­ле­ба­ни­ям. - Т.3. - 1970. - С. 215-220.

2. Го­рош­ко О.А., Са­вин Г.Н. Вве­де­ние в ме­ха­ни­ку де­фор­ми­руе­мых од­но­мер­ных тел пе­ре­мен­ной дли­ны. - К., 1971. - 224 с.

3. Го­рош­ко О.А., Демь­я­нен­ко А.Г., Ки­ба С.П. Двох­виль­ові про­це­си в ме­ханічних сис­те­мах. - К., 1991. - 188 с.

4. Гель­фанд И.М., Ши­лов Г.Е. Обоб­щен­ные функ­ции и дей­ст­вия над ни­ми. - М.: Физ­мат­гиз, 1958.

5. Дёч Г. Ру­ко­во­дство к прак­ти­че­ско­му при­ме­не­нию пре­об­ра­зо­ва­ния Ла­п­ла­са и Z-преобразования. - М., 1971. - 288 с.