А.И. Долгарев

МНОГОМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ III.

ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ЕЕ МЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

Ниже параметрическая поверхность мерного евклидова пространства отыскивается по заданным коэффициентам ее метрической формы. Это приводит к новой формулировке основной теоремы теории поверхностей. Определяемость поверхности ее метрической формой установлена в работах, обозреваемых в [1]. Для поверхностей 3-мерного пространства получено, что коэффициенты их форм кривизны выражаются через коэффициенты метрических форм, [2], в работе [3] поверхность получена по заданным коэффициентам ее метрической формы в результате решения системы дифференциальных уравнений первого порядка с частными производными и в работе [4], кроме того, сформулирована основная теорема теории евклидовых поверхностей в обновленном виде.

1. Поверхности пространства ,

Как и в [1], поверхность задана как погружение мерного действительного многообразия в евклидово пространство , описывается функцией , , . Это поверхность-график, или явное задание поверхности. Вместе с тем, поверхность описывается векторной функцией

, (1)

здесь компонента вектора есть , компоненты , , от параметров не зависят. В случае , т.е. при , имеется гиперповерхность пространства , описывается функцией , [5, раздел 4]. В случае имеется цилиндрическая поверхность содержащая плоскость пространства , поверхность содержит всякую прямую , проходящую через точку поверхности в направлении вектора базиса пространства , .

2. Касательная плоскость и нормаль поверхности

Поверхность регулярна класса , существуют производные до го порядка включительно и векторы производных , , линейно независимы. Векторы касательных линий поверхности таковы

, . (2)

Всякий вектор имеет две ненулевые компоненты: ую и ую, остальные компоненты векторов равны нулю. Векторы прямых , лежащих на поверхности, тоже являются касательными к поверхности. Таким образом, касательная плоскость к поверхности есть

= . (3)

Векторное пространство касательной плоскости является мерным, следовательно, нормальная плоскость поверхности 1-мерна, она является нормалью поверхности .

Рассматриваем вектор

. (4)

Так как и , то (4) и есть вектор нормали поверхности. Обозначим:

, (5)

т.е. . Единичный вектор нормали таков

(6)

и нормаль поверхности в точке есть

=.

3. Фундаментальные формы поверхности

Метрической формой поверхности (первой основной квадратичной формой, первой фундаментальной квадратичной формой) является

= , , (7)

коэффициенты метрической формы есть скалярные произведения векторов касательных линий на поверхности . Значения коэффициентов формы таковы:

и . (8)

Формой кривизны поверхности (второй основной квадратичной формой, второй фундаментальной квадратичной формой) относительно нормали является

, (9)

ее коэффициенты есть

. . (10)

4. Определяемость поверхности метрической формой

Предварительно заметим, что по первой формуле в (8) получаем

. (11)

Знак перед радикалами может быть выбран по второй формуле в (8). Но выражение содержит и знаки . Теперь считается, что на некоторой области плоскости пространства заданы функции

и , . (12)

1. ТЕОРЕМА. Если на односвязной области плоскости

пространства заданы функции (11), удовлетворяющие условиям

, , (13)

то на этой области задана поверхность с точностью до положения в пространстве , для которой функции (11) являются коэффициентами метрической функции. Начальные условия выделяют единственную поверхность, проходящую через точку и имеющую в точке вектор нормали .

# Отыскивается функция , частные производные первого порядка которой

связаны с заданными функциями (12) соотношениями (11). Обозначим , , знаки величин выбираем по второму условию в (13), учитывается и первое в (13). Выполняются либо равенства , либо равенства .

Выбрав знак величины , по знаку величины получаем знак для и т.д., наконец, получаем знак для . Имеется только две возможности выбора знаков величин . Знак выбирается произвольно, выбор знаков остальных обусловлен равенствами .

Величины являются частными производными функции . Это обеспечивается первым условием в (13). Найти функцию можно как решение дифференциального уравнения с полным дифференциалом

. (14)

Согласно [6, c. 338 – 343], существует общее решение уравнения (14) и заданные в условии теоремы начальные условия выделяют частное решение, которое описывает поверхность , проходящую через заданную точку и имеющую заданную нормаль. Всякое частное решение уравнения (14) определяет поверхность в . Находя производные =, получаем, согласно (8), равенствам и равенствам , ; . Т.е. всякая поверхность , как решение уравнения (14), имеет метрическую форму с заданными коэффициентами (12). Выбор знака величины определяет одно из двух направлений нормали к поверхности. Изменив выбранный знак, имеем противоположное направление нормали . Таким образом, поверхность своей метрической формой определяется с точностью до положения в пространстве. #

2. CЛЕДСТВИЕ (основная теорема теории евклидовых поверхностей). Поверхность пространства однозначно, с точностью до положения в пространстве, определяется метрической формой поверхности. #

В работах, обозреваемых в [1], утверждения об определяемости поверхностей многомерного евклидова пространства метрической формой доказываются с использованием формы кривизны поверхности и формул Гаусса – Петерсона – Кодацци. В нашем случае доказательство основной теоремы получено значительно проще.

5. Схема получения поверхности

Установлено [6, c. 338], что уравнение (14) в частных производных равносильно системе обыкновенных дифференциальных уравнений

.

В [3] приведены примеры получения поверхностей 3-мерного пространства по метрической форме. В многомерном случае тоже полезно иметь конструктивное решение обсуждаемых задач. Воспользуемся известным методом решения уравнения (14) для случая, когда отыскивается функция от двух переменных.

ПРИМЕР. Поверхность-график в задана функцией , это погружение , векторное задание: , здесь , . Имеем производные: , т.е. ; , ; ; , . Коэффициенты метрической формы, согласно (8), равны: , , , ,

, ,…, .

Пусть теперь заданы функции

, , , , ,

,…, (15)

на некоторой области гиперплоскости . По заданным функциям получим поверхность в , для которой из (15) являются коэффициентами метрической формы; поверхность проходит через точку области и имеет в этой точке нормаль . В окрестности точки координаты точек близки к координатам точки ; считаем, что знаки координат точек такие же, как знаки соответствующих координат точки ; если какая-то координата точки нулевая, то соответствующую координату точки считаем положительной.

По (11), = =, , , . Знак величины определен условиями предыдущего абзаца. Пусть . Знак коэффициента задан. Из условия определяется знак величины , поэтому . Аналогично, по знакам величин , получаем , .

Первое из условий (13) выполняется, поэтому имеется следующее уравнение вида (14) с полным дифференциалом:

. (16)

При интегрировании первого слагаемого левой части уравнения по параметру получается слагаемое , зависящее от параметров :

= . (17)

Производная по параметру последнего выражения совпадает с величиной во втором слагаемом уравнения (16):

=,

следовательно, . Слагаемое от параметра не зависит, оно распадается на постоянное слагаемое и слагаемое . Производная по параметру выражения (17) совпадает с :

=.

Поэтому =. Находя производную по от (17), получаем =. Таким образом, функция (17) принимает вид

, (18)

это полный интеграл уравнения (16). При всяком действительном функция (18) описывает поверхность пространства в окрестности точки . Дифференцируя функцию

,

находим, что ее метрическая форма имеет коэффициенты (15). Выписанный выше вектор ортогонален векторам , т.е. определяет нормаль ко всякой поверхности в точке .

Выбрав , в изложенной схеме отыскиваем множество поверхностей в окрестности точки , метрические формы которых имеют коэффициенты (15), нормаль в точке к поверхностям определяется вектором . Поверхности и симметричны относительно гиперплоскости, параллельной гиперплоскости .

Функции (15) определяют и цилиндрические поверхности в пространствах ,

. Поверхность является погружением , описывается явной функцией в пространстве и векторной функцией

, .

В условии задачи должны быть известны коэффициенты метрической формы, удовлетворяющие соответствующим условиям, и должна быть задана размерность пространства. При отыскании функции использованы не все коэффициенты .

Имеется следующая схема решения уравнения (14) с полным дифференциалом. Интегрируем первое слагаемое:

.

Получается функция , где есть функция, зависящая от . Находим производные , , и решаем уравнения относительно , что позволяет в функции выделять слагаемые, зависящие от одного из параметров и уменьшать число параметров функции . Число конечно, процесс решения уравнения конечен.

Список литературы

1. I. Ivanova-Karatopraklieva, P.E. Markov, I. Kh. Sabitov. Bending of surfaces. III. Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol 12. (2006), no 1, pp. 3 – 56.
2. Долгарев А.И. Новый вид основной теоремы Гаусса в евклидовой теории поверхностей. //Materiali IX mezinarodni vedecko-praktika conference «Dni vedy – 2013» - Dil 32. Matematika. Vystavba a archtektura: Praga. Publiching House “Education and Skience”. s.r.o. – 2013. С. 55 – 60.
3. Долгарев А.И. Система линейных уравнений первого порядка в частных производ-

ных. Задание евклидовой поверхности коэффициентами ее первой квадратичной

формы. // Materiali IX mezinarodni vedecko-praktika conference «Dni vedy – 2013» -

Dil 32. Matematika. Vystavba a architektura: Praga. Publiching House “Education and

Skience”. s.r.o. – 2013. С. 32 – 40.

4. Долгарев И.А., Долгарев А.И. Обновленная основная теорема теории поверхностей в курсе геометрии. // Информационные технологии в математике и математическом образовании. Материалы II Всероссийской научно-методической конференции. Красноярск: КГПУ – 2013, С. 327 – 331.
5. Иванов А.О., Тужилин А.А. Лекции по классической дифференциальной геометрии.

– М.: Новая университетская библиотека, 2009 – 233с.

6. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., 1959 – 468с.
7. Долгарев И.А. и Долгарев А.И. Определяемость евклидовой поверхности. Обнов-

ленная основная теорема теории поверхностей (обзор теории поверхностей).// Mate-

rialy IX Miedzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji “Perspektywiczne opra-

cowania sa nauka I technikani – 2013” Volume 33. Matematyka.: Przemysl. Nauka i

studia – 2013, C. 27 – 47.

8. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1. Аналитическая геометрия. М.:

Наука, 1979. – 336 с.

9. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – 2-ое изд. – М.: Нау-

ка, 1986. – 304 с.