Сатыбалдиев О.С. –д.п.н., профессор

Оразбай М. - магистрант

КазНТУ им. К.И.Сатпаева, г.Алматы, Казахстан

 

Применение преобразования Лапласа для решения одномерного волнового уравнения

 

Распространение сейсмической волны описывается волно­вым уравнением. Это уравнение может быть выведено из соотно­шений между напряжением, упругостью, законом Гука и законом Ньютона.

Покажем решение начально-краевой задачи для одномерного однородного волнового уравнения.

Постановка задачи. Требуется найти решение уравнения

                               (1)

удовлетворяющее следующим начальным и граничным условиям:

                                                       (2)

                                                 (3)

                                                     (4)

          при  для                                  (5)

где  - отклонение струны от положения равновесия (ис­комая функция); из (5) следует, что в начальный момент времени струна находится в положении равновесия; из (3) следует, что в начальный момент времени струна имеет начальную скорость ко­лебаний ; из (4) следует, что левый конец струны закреп­лен; из (5) следует, что при удалении  в бесконечность отклоне­ние  стремится к нулю.

Для построения решения задачи (1)-(5) используем преобра­зования Лапласа. К обеим частям уравнения (4) применяем преоб­разование Лапласа

.                                           (6)

Известно, что

                                      (7)

где .

         Так как ,  (см.(2)-(9)), то равенство (7) перепишем в виде 

       .                                  (8)

         Рассмотрим выражение

   .           (9)

         С учетом (7)-(9) равенство (6) перепишем в виде

  .                                 (10)

         Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет вид

         При этом общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

где  и  - произвольные постоянные.

         Частное решение неоднородного уравнения (13) будем искать в виде

.

         Если  подставим в (10) и будем  приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях , то получим

 

Тогда общее решение уравнения (10) есть сумма , т.е.

.               (11)

         Если к обеим частям (4) и (5) применим преобразование Лапласа, то получим следующие граничные условия относительно :

  при .

         Эти условия будем использовать для нахождения значений произвольных постоянных   и . Использование воторого условия дает , первого условия .

         Значения   и  подставим в (11):

Использование формулы  и соотношения 

 

дает решение задачи (1)-(5) в виде

где   - функция Хеввиссайда.

 

Список литературы

1.  Крылов А. П., Глоговский М.М., Мирчинк М.Ф., Николаевский Н.М., Чарный П.А. Научные основы разработки нефтяных месторождений. – М.: РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина, 2004. 424 с.

2.  Серкеров С.А. Теория потенциала в гравиразведке и магниторазведке. – М.: ОАО «Издательство Недра», 2000г., 350 с.