ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ РАНГОВОЙ КОРРЕЛЯЦИИ

К СТАТИСТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ СВЯЗЕЙ

Карев М.Н., Данилов А.М.

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

Рассматриваются приложения методов ранговой корреляции к статистическому анализу связей между различными свойствами материалов. Ранги используются при установлении связи между двумя качественными признаками системы, когда каждый из этих признаков допускает лишь относительное сравнение различных объектов («лучше» - «хуже») без указания численных значений признаков [1]. Укажем три основных возможных приложений методов ранговой корреляции к статистическому анализу связей между различными свойствами материалов (широко использовалось при когнитивном моделировании материалов, построении ориентированного графа и определении иерархической структуры критериев качества).

1. Анализ структуры совокупности упорядочений

 .

Если точки  разбросаны равномерно по всей области их возможных значений  (), то можно говорить об отсутствии связи или согласованности между ранжировками. При наличии сгустка (ядра) близко лежащих друг от друга точек можно говорить о согласованности переменных. При наличии нескольких ядер можно говорить о наличии нескольких подмножеств переменных с высокой степенью взаимосвязей между входящими в ядра переменными.

2. Анализ интегральной (совокупной) согласованности переменных и их условная ранжировка по степени тесноты связи каждой из них с остальными переменными. Такая задача возникает при исследовании степени согласованности мнений группы экспертов и условном упорядочении экспертов по их компетентности. В основе анализа лежит определение коэффициента совокупной согласованности - коэффициента конкордации для различных комбинаций переменных.

3. Наилучшее  (в определённом смысле)    восстановление  ранжировки

, связанной с результирующей переменной , по ранжировкам   ,  соответствующим объясняющим переменным (задача регрессии на порядковых (ординальных) переменных).

Ограничимся решением первой задачи. Теснота связи между ранжировками  определяется по коэффициенту корреляции К.Спирмена  

                            .                                          (1)

 Формула (1) пригодна лишь в случае отсутствия объединённых рангов в ранжировках . В общем случае для анализа парных ранговых статистических связей используется ранговый коэффициент корреляции Спирмена, вычисляемый по формуле

, .        (2)              

Здесь ранжировка осуществляется по признаку  ; имеется   групп с неразличимыми рангами;  - число элементов в  q-й группе, .

При когнитивном моделировании эпоксидных композитов экспериментально были  получены показатели прочности при сжатии и твердости:

 

 

Ранги

Свойства

Порядковый номер состава ЭК

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Прочность

при сжатии, x1

2

4

1

10

5

3

7

9

8

6

Твёрдость, x2

2

5

1

10

4

3

7

9

8

6

 

Здесь  объединённые ранги отсутствуют. В соответствии с формулой (1) коэффициент ранговой корреляции Спирмена .

Откуда следует, возможность ограничиться экспериментальным  определением лишь одного показателя из указанных двух.

Устанавливалась связь между коэффициентом структуры и коэффициентом энергоёмкости ЭК.

 

 

Ранги

Показатели

Порядковый номер состава ЭК

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Коэффициент структуры, x13

10

4

5,5

9

8

7

5,5

3

2

1

Коэффициент энергоемкости, x14

10

3

2

6,5

6,5

9

4

5

8

1

 

Здесь при ранжировке по признаку  x13  имеется одна группа с неразличимыми рангами  5,5;  число элементов в группе m13 = 1. Имеем: .  Аналогично для x14: T14  = 0,5. Имеем: .

Отсюда следует, что коэффициенты структуры и энергоёмкости должны определяться по экспериментальным данным самостоятельно.

При анализе парных ранговых статистических связей между ранжировками часто используется и ранговый коэффициент корреляции Кендалла.

 ;     ,  .

Коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла связаны между собой (оба коэффициента - линейные функции от числа инверсий в перестановке). При определении коэффициентов Спирмена и Кендалла речь, таким образом, идет о выборочных характеристиках ранговой связи.

Литература

1.     Гарькина И.А., Данилов А.М. Управление в сложных технических системах: методологические принципы проектирования / Региональная архитектура и строительство. № 1. 2012. – C. 39-42.