К.п.н. Новичкова Т.Ю., к.п.н. Ячинова С.Н.

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, Россия

Методические возможности изучения матриц

Известно, что математической моделью многих экономических задач являются матрицы. Информация, записанная в матричной форме компактна, наглядна, легко обрабатываема. Студенты свободно оперируют данными, записанными в таблицах, поэтому удобно вводить понятие матрицы на конкретном примере, показывая соответствие между таблицей и матрицей.

Допустим, обувная фабрика выпускает продукцию трех видов (сапоги, туфли и кроссовки) и поставляет её ежемесячно в течение зимы в город А в количестве 150, 50 , 50 пар для каждого вида соответственно и в город В в количестве 200, 70 и 60 пар. Исходные данные удобно записывать в таблицу.

Город	Поставка обуви (количество пар)
	сапоги	туфли	кроссовки
А	150	50	50
В	200	70	60

Если необходимо найти количество туфлей, поставленных в город А, достаточно взять число в клетке таблицы на пересечении первой строки и второго столбца, что составляет 50 пар. Если убрать в таблице названия строк и столбцов, а оставшуюся часть записать в виде , то получим пример матрицы.

Операции над матрицами также удобно изучать на примерах. Пусть требуется определить поставки обуви за зимний период. Например, возьмем поставки сапог в город А. Ясно, что поставки будут в 3 раза больше, чем за один месяц, то есть , аналогично и для других элементов, что означает

.

Но поставки различных видов обуви в течение года различны. Пусть Z – матрица зимних поставок за один месяц, V – матрица поставок весной за один месяц.

, .

Пусть необходимо найти общий объем поставок за весенне-зимний период. Очевидно, что за зиму поставлено в город А 450 пар сапог и за весну 630 пар. За весь период город А получит пар сапог. Аналогично для остальных элементов.

Определенную трудность вызывает операция умножения, но и её легко разобрать на примере. Предположим, необходимо найти прибыль фабрики от поставок. Полученная матрица С показывает объем поставок всех трех видов обуви за весенне-зимний период в города А и В. Пусть фабрика получает за пару обуви каждого вида 30,15,10 у.е. соответственно. Тогда вектор-столбец прибыли можно записать в виде: .

Очевидно, что прибыль от продажи продукции в город А составит у.е. Таким образом, перемножаются элементы, стоящие на первом, втором, третьем местах и затем результаты складываются.

.

После каждого конкретного примера необходимо записать изучаемую операцию в общем виде и обратить внимание на размерности матриц, при которых данная операция выполнима.

Матричная алгебра применима и к решению систем линейных уравнений. На фабрике для изготовления обуви используется три вида сырья: , , . Нормы расхода сырья на одну пару каждого вида обуви 4, 3, 4 у.е. соответственно, сырья - 2, 1, 1 у.е. и сырья - 1, 2, 3 у.е. При этом за день расходуется 2500 у.е. сырья , 900 у.е. - и 1400 у.е - . Требуется найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви. Предположим, что фабрика выпускает пар сапог, - туфлей и - кроссовок. Тогда легко можно составить систему:

.

Введем матрицу норм расходов сырья – А, матрицу выпуска – Х и матрицу запасов ресурсов – В, тогда . Перемножая матрицы А и Х, а затем приравнивая соответствующие элементы правой и левой частей уравнения, получим систему, записанную выше. Решение матричного уравнения имеет вид: .

Обратная матрица равна .

Решая данное матричное уравнение, получаем

.

Это значит, что фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 пар туфлей и 200 пар кроссовок.

Таким образом, элементы матричной алгебры могут быть удачно введены с помощью экономических задач. Причем математическая теория связана экономическими знаниями, что в дальнейшем дает возможность решать более сложные экономические задачи.