Доцент, к.ф.-м.н. О.В. Матысик
Брестский государственный
университет имени А.С. Пушкина (Беларусь)
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ
С ПРИБЛИЖЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПОМОЩИ НЕЯВНОГО ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА
Пусть H и F – гильбертовы пространства, A
L (H, F), т. е.
А –
линейный непрерывный оператор, действующий из H в F. Предполагается, что нуль не является собственным
значением оператора А, однако нуль
принадлежит его спектру. Рассмотрим уравнение
(1)
Задача отыскания элемента 
по элементу 
является
некорректной, так как сколь угодно малые возмущения в правой части y могут
вызывать большие возмущения решения уравнения.
Предполагаем,
что точное решение 
уравнения (1)
существует и является единственным. Будем искать его с помощью итерационного процесса
, (2)
где E – тождественный
оператор, 
– итерационный шаг. Считаем,
что оператор А и правая часть y уравнения (1) заданы приближенно, т. е. вместо y известно
приближение 
, 
, а вместо оператора 
известен оператор 
, 
. Тогда метод (2) примет вид
. (3)
Докажем сходимость процедуры (3) в случае
апостериорного выбора параметра регуляризации для решения уравнения 
. Считаем, что нуль не является собственным значением оператора
, но принадлежит его спектру.
Зададим уровень останова 
и определим момент 
останова
итерационного процесса (3) условием
(4)
Предположим, что при начальном приближении
невязка достаточно
велика, больше уровня останова 
, т. е. 
. Покажем возможность применения правила останова по невязке (4)
к методу итераций (3).
Пусть 
, 
, 
, 
, 
. Итерационная процедура (3) запишется в виде 
, где 
. При 
получены следующие условия
для функции 
:
, 
, (
), (5)
, (
), 
, 
, (6)
(здесь 
– степень истокообразной
представимости точного решения 
, 
, 
),
, 
, (
), (7)
, 
. (8)
Справедливы
Лемма 1. Пусть 
, 
, 
, 
, 
и выполнено условие (6) с 
. Тогда для 
справедливо
соотношение 
при 
, 
для 
.
Лемма 2. Пусть 
, 
, 
, 
, 
и выполнены условия (6) и (8). Если для некоторых 
и 
имеем 
при 
, то 
Теорема 1. Пусть 
, 
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
и выполнены условия (6),
(7) с 
. Пусть параметр 
выбран по правилу (4). Тогда 
при 
.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Если 
то справедливы cледующие оценки
Замечание 1. В оценке нормы
(cs ≤ 2 для 0 < s ≤ 1).
Замечание 2.
Хотя
формулировка теоремы 2 даётся с
указанием степени истокопредставимости 
и
истокопредставляющего элемента 
, на практике их значение не потребуются, так как они не
содержатся в правиле останова по малости невязки (4).