Гнатченко А.А., Нурсеитов Д.Б.

Казахский Национальный Технический Университет имени К.И. Сатпаева, Казахстан

Методы и процедуры генерации псевдослучайных событий и величин

Современные методы имитационного моделирования основаны на последовательности событий, законы и распределения которых не всегда очевидны. На практике при моделировании часто применяются так называемые генераторы случайных чисел, которые носят название генераторов псевдослучайных чисел. Практическое получение последовательности случайных чисел, которая бы отвечала всем требованиям реальной случайности, затруднено, поэтому при моделировании чаще применяют некоторое приближение, которое имитирует реальные распределения случайных величин с некоторой точностью.

Имеется множество видов генерации случайных величин, каждый из которых обладает теми или иными достоинствами и недостатками. К числу генераторов случайных величин, которые нашли широкое применение в цифровой технике относятся генераторы дискретных величин. Последовательность, которая получается на выходе такого генератора, представлена дискретными величинами. Видам генерации случайных величин и посвящена текущая публикация.

В процессе экономического и математического моделирования очень часто возникает необходимость моделировать совокупность случайных взаимозависимых факторов. Все эти факторы можно классифицировать по природе их возникновения. Факторы бывают дискретные и непрерывные. Каждая из представленных категорий должна иметь собственные методы моделирования, генерации, а также анализа. Отличным примером имитационной модели и связанной с ней случайной аналитической величиной, является исследование возможности возникновения отказа в автоматизированной системе управления. Нетрудно убедиться, что в данном случае отказ имеет определенную вероятность возникновения и может быть успешно описан в терминах математики и теории вероятностей как случайное событие. Что касается его детального описания в терминах вычислительной техники, то в этом случае уместно использовать термин генерация псевдослучайного события на нормализованном равномерном участке.

Рассматривая иной пример, существует возможность также убедиться в том, что псевдослучайные генерируемые значения переменных часто требуется представить в полном соответствии с определенным законом их возникновения. Например, нормальным законом. [1]

Принимая во внимание тот факт, что в исследуемой системе, на основании которой требуется построение модели имеется событие «А» в соответствие к которому сопоставлена вероятность его возникновения, можно разработать ряд методов генерации такого события. В данном случае оптимальной формулой, которая может быть с успехом использована применительно к вычислительной технике, является следующая:

где z – генерируемая случайная величина, Pa – вероятность наступления события «А».

При конкретизации данной формулы не трудно убедиться, что вероятность попадания случайной величины в интервал [0, Pa] равна величине Pa. Таким образом для успешного моделирования случайной величины на данном отрезке достаточно лишь разыграть случайное число z, проанализировать попало ли оно в заданный интервал, и если попало, то считать, что событие произошло.

Важным следствием является то, что, применяя абсолютно аналогичный подход, можно генерировать события противоположное событию «А». [1]

В общих чертах, алгоритм генерации заданного случайного события изображен на рисунке 1.

Рисунок 1. Общий процесс генерации заданного случайного события

Необходимо рассмотреть основные определения теории вероятностей для успешного моделирования комплексных случаев. Случайной величиной называют величину, для которой свойственно принимать определенное, однако заранее неизвестное значение. Такие величины делятся на дискретные и непрерывные, случайные и детерминированные. Дискретной случайной величиной называют случайную величину, которая принимает конечное число значений. Таким образом, множество всех ее возможных значений является счетным. Такие дискретные случайные величины могут быть описаны при помощи таблицы дискретных вероятностных состояний. Что касается непрерывное случайной величины, то для нее свойственна способность принимать любые значения из определенного интервала и такая случайная величина может быть описана лишь законом распределения. [2]

Особое внимание следует уделить алгоритму моделирования полной группы несовместных событий, поскольку зачастую бывает так, что имитационная модель не может быть точно описана в рамках всего одной случайной величины. Однако стоит отметить тот факт, что случайные события не должны быть сгенерированы в одно и тоже время, поскольку множество имитационных моделей имеют непересекающиеся множества своих состояний. В этом случае принято делить нормализованный интервал вероятности на k отрезков различной длины, величина которых пропорциональна величине вероятности возникновения события данного отрезка. На рисунке 2 продемонстрирована диаграмма распределение вероятностей случайной величины.

Рисунок 2. Диаграмма распределения вероятностей случайной величины

С технической точки зрения механизм реализации такого поведения является определенным и представляет из себя следующую последовательность шагов.

Все начинается с датчика случайных чисел, в основные функциональные обязанности которого входит генерация равномерно распределенных случайных чисел на нормализованном единичном детерминированном отрезке. После генерации одного случайного числа условный оператор осуществляет анализ попадания сгенерированного ранее значения в интервал, соответствующий первому событию. Если при анализе условия оно оказывается истинным, то имитационная модели принимает решение о том, что произошло событие «А» и дальнейший анализ не производится. Однако если это условие ложно, то случайно сгенерированной величине предстоит пройти ряд каскадных условий, на каждом из которых имитационной системе удается безошибочно определить какое из событий произошло. [3]

Важным следствием данного алгоритма является тот факт, что представленная схема позволяется моделировать полную группу несовместных случайных событий, что является очень важным в контексте работы с дискретными величинами. На следующем рисунке показана схем моделирования полной группы событий.

Рисунок 3. Схема моделирования полной группы событий

Особым случаем при разработке имитационных моделей является случай генерации значений случайной величины. В данном случае акцент делается не на наступлении определенного события, а на способности случайной величины принимать значения из заранее определенного множества детерминированных значений. Примерами таких величин могут служить: интервал времени, в течении которого возможно починка сломанного компьютера, объем данных, который может быть получен из базы данных по определенному критерию. При этом алгоритмические и технические основы формирования таких величин являются прежними, что обуславливает их широкое распространение в качестве надежного средства моделирования значения случайной дискретной величины. [3]

Для задания дискретной величины и характера ее поведения обычно пользуются таблицами, которые выражают закон распределения таких величин. Пример такой таблицы показан ниже.

Таблица 1. Табличный метод задания закона распределения

Х	х1	х2	…	хn
Р	Р1	Р2	…	Рn

Данная таблица демонстрирует один из методов задания закона распределения случайной величины. В данном случае Pi – это вероятность принятия случайной величиной значения x_i. При этом стоит отметить, что обязательным условием является тождественность суммы вероятностей и единицы.

Используясь приведенной таблицей можно провести генерацию случайной величины следующим образом: сначала разыгрывается случайная величина в заданном интервале. Затем определяется какое из событий осуществилось путем сравнения вероятностей с позицией интервалом. Следующим шагом является присвоение искомой величине заранее определенной таблицей вероятностей значения. [4]

При разработке любой системы имитационного моделирования центральное место занимает компонент подачи случайных или псевдослучайных чисел. От того, насколько точно данный компонент будет генерировать последовательность с заданным законом распределения, во многом зависит достоверность результатов, полученных при работе имитационной модели. При рассмотрении методов и подходов к генерации случайных величин необходимо отметить, что наибольшее распространение и применение нашли методы генерации дискретных случайных величин. Именно благодаря им имеется возможность генерации полной группы случайных несовместных величин и применения данных величин при проведении оптимизации различных процессов, природа которых носит вероятностный характер.

Чаще всего алгоритмы моделирования являются ступенчатыми, однако имеются и итерационные, так называемые рекурсивные подходы к моделированию случайных величин.

Список использованной литературы

1. Н.Н. Лычкина. "Имитационное моделирование экономических процессов" 2012г.

2. Н.Б. Кобелев. "Основы имитационного моделирования сложных экономических систем" 2003г.

3. А.С. Акопов. "Имитационное моделирование. Учебник и практикум" 2014г.

4. Р. Шеннон. "Имитационное моделирование систем - искусство и наука" 1978г.