Кабаева Ж.А., доктор философских наук,

профессор КазНПУ им. Абая,

г. Алматы, Казахстан

Принцип относительности математического содержания к средствам доказательства

(методологический аспект)

Абстракт. В этой статье сделана попытка обосновать возможность существования принципа относительности математического содержания к средствам доказательства по аналогии с принципами относительности измерения, наблюдения.

Ключевые слова: субъект – объект, содержание, физика, математика, принцип относительности, доказательство,

Abstract. This article is an attempt to justify the possibility of the existence of the principle of relativity mathematical content to the way of the proof by analogy with the principles of relativity measurement and of relativity observations.

Keywords: subject - object, content, physics, mathematics, the principle of relativity, the proof.

В современной философии науки изучается большой спектр вопросов, связанного с философским осмыслением содержания и методологии науки. Современные исследователи выделяют несколько основных методологических принципов. К ним относятся принципы перманентности, соответствия, и другие, а также принципы относительности наблюдения и измерения. Эти принципы отражают различные стороны, моменты, характеризующие переход от одной теории к другой. Действительно, принцип перманентности выражает инвариантность, принцип перенесения – перенос понятий, аксиом, теорем из одной теории в другую, принцип соответствия показывает, что доказательство непротиворечивости математической теории сводится к непротиворечивости предыдущей. Интерес к методологическим принципам появляется при различных обстоятельствах. К ним относятся критические моменты в развитии теории, возникновение новых познавательных ситуаций, когда появляется потребность в переосмыслении сущности самого процесса познания. Одна из таких ситуации отмечена известным философом и математиком А.Н.Уайтхедом: «Под влиянием современной теории относительности наметилась тенденция к субъективистским формулировкам. Однако до этого периода формулировка законов природы в науке делались без ссылки на их зависимость от индивидуального наблюдателя» [1, 203].

Тенденция к субъективистским формулировкам появляется в связи с усложнением субъект - объектного отношения, просматривающегося в изменении предмета науки и связанных с ним методов. Взаимообуславливающие изменения предмета и методов способствуют перемещению акцента в субъект – объектных отношениях. Тенденцию в таких усложненных отношениях можно наблюдать в квантовой механике. В ней она выражена в принципах относительности к средствам наблюдения, измерения. Эту тенденцию можно выделить и в других конкретных науках.

Выделение принципа относительности к средствам наблюдения стало возможным в связи с появлением нового объекта в физике. Дело в том, что спецификой познавательного процесса, осуществляемого в микромире, является то, что об объектах, находящихся за пределами восприятия человека судят по показаниям приборов. Поэтому, как подчеркивает Н. Бор: «В квантовой физике описания действия измерительных приборов является … необходимым условием для определения самого явления» [2, 124]. Отсюда вытекает, что в неклассической физике сама научная теория содержит в своей структуре наблюдателя. Роль прибора и ее характеристики в классической физике и квантовой механике различны. В последней характеристики прибора органически входят в содержание теории. Поэтому акцент перемещен в сторону субъекта. Объяснение о необходимости введения субъективистских формулировок или, по-другому, считывание характеристик средств получения информации было сделано Н. Бором следующим образом: «В самом деле необходимость вводить в рассмотрение взаимодействия между измерительными приборами и объектом исследования в атомной механике представляет близкую аналогию со своеобразными трудностями психологического анализа, проистекающими от того факта, что духовное содержание неизменно меняется, если внимание сосредотачивается из какой - нибудь определенной стороны» [2, 25] .

Возрастание роли субъектных характеристик в познании связано с тем, что в современном естественно - научном познании действия субъекта рассматривается не как в классической физике, где субъект и объект были изолированы друг от друга. Здесь наблюдается нарушение такой изоляции. Наряду с Н.Бор и другие физики, как А. Энштейн, В. Гейзенбург отмечают, что в современной физике нельзя обойтись без ссылок на условия получения информации. Влияние этого момента в субъект - объектном отношении на получаемое знание так значительно, что можно было бы это подчеркнуть , представив отношение «субъект-объект» в виде «субъект-прибор-объект». Последнее соотношение дает возможность подчеркнуть роль прибора в новой познавательной ситуации.

По аналогии такую же познавательную ситуацию можно наблюдать и в других областях. А.А.Ляпунов относит к таким областям, где субъект и объект не изолированы друг от друга, теорию относительности, квантовую механику, естественный человеческий язык, сознание, математическую логику и др. Тогда появляется возможность в постановке проблемы, заключающейся в выделении в этих областях принципа относительности к средствам получения знания. На нынешний момент выделены два принципа относительности - это принцип относительности наблюдения, на котором мы уже останавливались и принцип относительности измерения. С принципом относительности измерения имеют дело в физической области, точнее именно в этой области он был впервые выделен. Ныне уже ставится вопрос о рассмотрении его в нефизических областях, как психология, социальные науки. Тогда данный методологический принцип расширяет границы своего применения, причина чего кроется в самой процедуре измерения, которое «всегда подчинено реальным свойствам измеряемых объектов, понятийной и теоретической системе данной научной области и потребности практики» [3, 25] . Результаты исследования, измерения показывают степень проникновения в сущность объекта. Самые первые результаты отражают поверхностный слой объекта, поэтому наблюдается изоляция субъекта от объекта. Дело постепенно изменяется, когда переходят к изучению, измерению сложных характеристик объекта. Сложные взаимосвязи, более тонкие свойства объектов не наблюдаемы субъектом без приборов. Субъект получает данные об этом только через прибор, через описание характеристик самих приборов (начало отчета, шкала и т. д.) в соотнесении их с содержанием теории «Происходит взаимодействие объекта измерения и измерителя - прибора или (и) человека» [4,302]. Тем самым между субъектом и объектом наблюдается взаимодействие нового рода. Это означает новый принципиально важный методологический подход к получению знания, характеристике самого знания, что происходит в связи с изменением статуса субъекта. Благодаря всему этому стало возможным выделение принципа относительности измерения.

Вышерассмотренные принципы относительности наблюдения и измерения применяются на эмпирическом, экспериментальном уровне. Внимательное рассмотрение этих принципов позволяет понять, подчеркнуть основные моменты их возникновения и некоторые их свойства. Такую же картину в более-менее общих чертах можно наблюдать и в чисто теоретической области. В силу того, как высказался М.Массини, «… каждая научная дисциплина должна следовать математическому методу» [5, 22], то рассмотрение математического метода в новом ракурсе может иметь общенаучную значимость. В современной математической теории можно по аналогии выделить некоторые моменты, которые подводят к выделению принципа относительности. Конечно, здесь не может идти речь о принципе относительности наблюдения, измерения, так как субъект в данной области не применяет приборы.

Усложнение субъект - объектного отношения наблюдается и в современной математической теории, которая сильно отличается от классической математики. И здесь по аналогии с принципами измерения и наблюдения можно ставить вопрос о принципе относительности к получению знания. В силу того, что средством получения знания в математике является доказательство, здесь можно говорить о принципе относительности математического содержания к средствам доказательства.

Основу для такого выделения принципа относительности следует искать в фундаментальных теоремах К.Геделя. Как известно, теоремы К.Геделя появились на свет, как реакция на существование формализмов Д.Гильберта, который пытался формализовать всю математику. Любую теорему, считал Д.Гильберт, можно представить в виде некоторой формулы, записанной с помощью математических символов. Тогда «все высказывания, которые вместе составляют математику, превращаются в формулы, так что сама математика превращается в совокупность формул…Некоторые определенные формулы, которые служат фундаментом этого формального построения математики, называются аксиомами. Доказательства есть фигура, которая должна наглядно предстать перед нами… доказуемые теоремы, т. е. формулы, получающиеся при этом способе, являются отображением мыслей, которые образуют обычную до сих пор математику» [6, 366-367].

Доказательства у Гильберта предстают как своего рода «игра в дедукцию», а истинность формализованной теории сводится к их непротиворечивости. Всю математику же он стремился представить в виде формализованных исчислений и таким образом ее обосновать. Невозможность осуществления такой программы показал К.Гедель.

В своей первой теореме о неполноте К.Гедель доказывает, что содержательную арифметику нельзя формализовать полностью. Из этой теоремы вытекает вторая теорема Геделя, суть которой заключается в том, что доказательство непротиворечивости формальной арифметической системы невозможно провести средствами, формализуемыми в этой теории. В теоремах К.Геделя неявно заключено понимание относительности содержания математической теории к средствам доказательства. Специальная теорема Левенхейма - Сколема относится к самому широкому классу аксиоматических систем. Если в теоремах К. Геделя рассматривается относительность доказательства современных математических формализованных теории, то теорема Левенхейма - Сколема показывает относительность математического доказательства для более широкого круга теорем. В ней подчеркивается относительность математического доказательства теоремы, т.е. какая-то конкретная теорема может не иметь доказательства в одной системе аксиом, а в другой более широкой системе быть доказанной. Существующее некое положение может иметь статус доказанного или нет, смотря в какой системе доказательства его рассматривать. Таким образом, это истинное положение может войти в содержание теории, или нет. Чтобы оно стало элементом теории, придется расширять эту теорию путем изменения средств доказательства. Одни средства доказательства (одна система аксиом) заменяется другими средствами доказательства (другой системой аксиом) при переходе от одной теории к другой. При таком переходе содержание теории расширяется.

Как было замечено, в каждой теории имеется содержательная часть, не формализуемая ее средствами. Для формализации этой части расширяют средства доказательства, поэтому мы здесь имеем дело с относительностью содержания математической теории по отношению к средствам доказательства. По аналогии с принципами относительности наблюдения, измерения в данном случае в полученном знании об объекте учитываются средства получения знания; тогда по аналогии в математической области можно рассматривать отношение «субъект - средства доказательства - теория».

Взаимодействие между прибором и объектом в теории Н.Бора будет выглядеть в математической области познания как взаимодействие между содержанием конкретной математической теории к применяемым средствам доказательства в ней. Здесь внимание акцентировано на том, что характеристики доказанности или недоказанности правдоподобного суждения (теоремы) должна включать в себя характеристики средств доказательства.

Активность субъекта познания приводит к познанию объекта в определенном ракурсе. Знание об объекте в данном ракурсе становится возможным, потому что методы и средства, а также уровень знания позволяют перейти на более высокий логический уровень. Такая реконструкция позволяет глубже проникнуть в сущность предмета исследования. При такой форме субъект адекватно движется по логике развития предмета исследования.

Такое взаимодействия для субъекта стало существенным на определенном этапе развития математики. К примеру, в евклидовой геометрии такое взаимоотношение между субъектом и самой теории было не существенным. Было уже отмечено, что наблюдалась изоляция между субъектом и объектом. Игнорирование или, наоборот, пристальное внимание к этой стороне взаимоотношений не повлияло бы на саму теорию евклидовой геометрии. Почему так? Более вероятно, что первые теории были более объектными, базирующимися на содержательном нечто, включающим в себя интуитивное нечто. Далее в процессе развития математического знания в теории наблюдается тенденция в устремленности содержательного к нулю и на первый план выдвигается формальное, тем самым осуществляется переход на новый уровень абстракции, появляется усложненный объект. В формализованных исчислениях в поле зрения попадают субъект - объектные отношения.

Вывод. То, что метод исследования находится в зависимости от предмета, показывает, как изменение последнего ведет к введению новых методов, каковыми являются принципы наблюдения и измерения. К ним можно добавить новый принцип относительности математического содержания к средствам доказательства, который позволяет выявить новые философско – методологические аспекты математического познания.

ЛИТЕРАТУРА

1.Уайхед А.Н.Избранные работы по философии. М.,1990.

2.Бор Н.Атомная физика и человеческое познание. М.,1961.

3.Ляпунов А.А.Проблемы теоретической прикладной кибернетики. М., 1980.

4.Берка К.Измерения М., 1987.

5. Massimi, M. Philosophy of natural science from Newton to Kant. Studies in History and Philosophy of Science (2012), http://dx.doi.org/10.1016/j.shpsa.2012.10/010

6.Гильберт Д.Основания геометрии. М.,1948.