О третьем варианте решения уравнения Риккати

Чочиев Т. З.

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А.

В работах [3-6] предоставлены два варианта исследования решения уравнения Риккати [1.2]. В настоящем, третьем варианте дается доказательство выполнимости условия, гарантирующего решение уравнения Риккати в квадратурах, с использованием результатов второго варианта [5.6]. Дано обоснование формулы, устанавливающее решение уравнения Риккати в квадратурах. Следовательно, третий вариант есть суперпозиция двух вариантов.

Ключевые слова: уравнение, порядок, решение, вариант, Риккати, квадратура, тождественная выполнимость.

П.1. Условие, гарантирующее решение уравнения Риккати в квадратурах.

Напоминаем, что в основе решения линейного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами лежит решение нелинейного уравнения первого порядка класса Риккати. В общей форме оно выглядит:

где – заданные непрерывно дифференцируемые функции. Через обозначим корни квадратного трехчлена (1.1)

Из (1.1) следует:

или

Отсюда легко замечаем, что

Имеет место следующая теорема

Теорема 1: Если выполняется равенство

где неизвестные интегралы ( неизвестна), то

обращает (1.2) в тождество.

В самом деле, первый член уравнения (1.2), в силу (1.4), представляется

а разность второго и третьего членов есть:

подставляя эти два значения в уравнение (1.2), после упрощения приведем к виду

Поскольку , то второй сомножитель отличен от нуля, а первый,

в развернутой форме он есть (1.3).

Таким образом, (1.3) является условием, из выполнения которого следует удовлетворение уравнения (1.2). Следовательно, требуется доказать выполнимость (1.3). В связи с этим для неизвестных интегралов примем следующие обозначения

Тогда (1.3) перейдет к следующей системе дифференциальных равенств

являющуюся сложной, так как правая часть первого уравнения есть решение второго уравнения, и наоборот, правая часть второго уравнения есть решение первого уравнения. В связи с этим составляем более удобную систему,

из решения которой будет следовать решение (1.5), если удовлетворяет третьему уравнению, а – некоторое решение нелинейного уравнения

или, вкратце,

где коэффициенты через коэффициенты уравнения (1.1) выражаются

а и определяются из первой формулы выражения (1.1)₁.

Таким образом, доказательство удовлетворения (1.3), или что то же самое системы (1.5), сввязано с решением уравнения (1.7) и с выполнением системы (1.6).

П.2. Исследование уравнения (1.7).

Чтобы из системы (1.6) определить нужно из (1.7) найти . Это уравнение такого же типа, что и (1.1); однако будем его изучать способом, примененным в [5.6].

В частности, уравнение (1.7) допускает представление

где

Пусть дается формулой

где постоянная, а решение нелинейного уравнения

причем

а (2.4) допускает представление

Справедлива теорема.

Теорема 2: Если в равенстве (2.1) определяется формулой (2.3), удовлетворяет уравнению (2.4), то имеет место тождественная выполнимость равенств:

Подробное доказательство (2.5) дается в [5.6]. Считаю, нет необходимости приводить доказательство еще раз.

Перейдем к вопросу решения уравнения (2.4). решение будем искать в форме

где и – искомые функции, а – неизвестная постоянная, а (см. ). Из (2.6) следует,

Отсюда имеем:

С другой стороны, (2.4) можно переписать так:

или, сгруппировав левую часть,

и разделив обе части на получим равносильное (2.4) соотношение

которое с учетом , переписывается

Так как и неизвестны, то (2.8) будет тождеством, если

Или в силу (2.6),

Отсюда следуют дифференциальные равенства

где

Следовательно, для искомых функций соответственно будем иметь:

где – неизвестная постоянная

Они удовлетворяют соответственно уравнениям (2.9), или равенствам (2.8). Но тогда (2.8) или равенство , согласно удовлетворяют тождественно. То есть, уравнение (2.4) удовлетворяет тождественно.

Переходим к исследованию уравнения (2.1). Его решение задано в форме (2.3). покажем, что оно удовлетворяет уравнению (2.1). Из (2.3) замечаем:

Или

Умножим (2.1) на и переписываем в форме

Отсюда следует:

С другой стороны, из (2.11) напишем

Подставим эти значения в (2.12)

и сократив обе части на , получим:

то есть,

и (2.3) служит решением уравнения (2.1). Что и требовалось. Итак, мы доказали выполнимость уравнения (2.1), или (1.7).

Таким образом, функция , определенная формулой (2.6), удовлетворяет уравнению , или уравнению (2.4); функция , определенная формулой (2.3), удовлетворяет уравнению (2.1), или уравнению (1.7); то есть свободно мы можем вернуться к системе равенств (1.6) для построения функции ; но прежде нужно уточнить постоянные , содержащиеся в формулах (2.10), (2.6) и (2.3).

Воспользуемся снова результатами [5]. Из (2.9) имеем:

С другой стороны из (2.7) в нулевой точке имеем:

Поскольку – неизвестна, то её будем искать совпадением значений в нулевой точке

или

Считая, что для находим

меть Третье тождество выражения (2.5) дает:

Отсюда и из для устанавливаем:

На основании (2.12) и (2.6)

Таким образом, располагая установленными значениями постоянных (2.15), (2.15) и , функции и , выраженные соответственно формулами (2.6) и (2.3) и удовлетворяющие уравнениям (1.7) и (2.4), стали вполне определенными (см.(2.1) и ).

П.3. О системе (1.6).

Поскольку уже известная функция (см. (2.3)), то можно в (1.6) перейти к построению функций, ибо выполнимость (1.5) связана с удовлетворением (1.6). Из первых двух уравнений имеем:

Так как – решение уравнения (1.7), то соотношение

есть тождество. Чтобы удостовериться прологарифмируем, а потом продифференцируем по , после группировки сразу получим уравнение (1.7), которое выполняется тождественно.

В связи с тождеством (3.2) функция допускает следующее представление

Приняв, обозначение

функции переходят к виду

Подставляя эти значения в третье равенство выражения (1.6) настоящего параграфа, получим дифференциальное уравнение относительно

где

Следовательно, из последнего равенства для запишем:

Но нас интересует найти . Сравнивая обозначения (3.3) с полученным значениям (3.6), находим

где

Таким образом, установили, что

Полученные формулы (3.7) и образуют решение системы (1.6). Спрашивается, будут ли удовлетворять системе (1.5)? Ответ дает следующая теорема.

Теорема 3. Если система (1.6) удовлетворяет, то удовлетворяет и система (1.5).

Доказательство. К обеим частям первого равенства системы (1.5) прибавим

и резльтат сгруппируем:

Левая часть полученного равенства совпадает с первым уравнением системы (1.6), а правая часть с последним уравнением. То есть, обе части суть тождественные нулю 0=0.

Далее, к обеим частям второго равенства (1.5) прибавим

и сгруппируем:

Согласно второму и третьему равенствам системы (1.6), обе части – тождественные нули. Теорема 3 доказана Ч. Т.

Итак, система (1.5) выполняется. Но это тоже самое, что выполняется условие (1.3); условие, гарантирующее решение уравнения Риккати. То есть, формулы (1.4) удовлетворяют уравнению (1.2), или уравнению (1.1). этим Теорема 1 считается доказанной.

Таким образом, для уравнения Риккати (1.1) построено решение в явной форме, которое дается формулами.

выражаются через (3.7). На основании

Вопрос вполне считается резонным, если спросить: зачем одновременное применение обоих вариантов, когда второй вариант более доступный; быстро приводим к цели! Думается, что в первом варианте [4] заслуживает особого внимания условие, выполнимость которого гарантирует решение уравнение Риккати в квадратурах. Что отсутствует во втором варианте [5]. Во втором варианте [5] актуальным считается доказательство трех тождеств; из них замечательным является второе тождество:

Решение уравнения Риккати выражается через решение другого уравнения класса Риккати в экспоненциальной форме. Практическое построение такой функции представляет определенную важность для первого варианта. Первый вариант получил свое продолжение в эффективной форме. Это во первых. Во вторых, такие существенные моменты, как условия, выполнимость которого гарантирует решение уравнения Риккати в квадратурах и доказательство трех тождеств аккумулированы в одном параграфе. Этим первый вариант оказался в более доступном положении.

Литература

1. Матвеев Н. М. методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Л., 1955. с. 656.

2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. Госиздат тех. литературы. 1953. с. 468.

3. Чочиев Т. З. Условие, гарантирующее решение характеристического уравнения Эйлера в квадратурах. // Труды XV международного симпозиума. (МДОЗМФ-2011), Харьков-Херсон, 2011, с. 394-403.

4. Чочиев Т. З. О решении обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка. Вестник Харьковского университета №1037, 2012, с. 224-234.

5. Чочиев Т. З. О другом варианте исследования уравнения Риккати // Современная наука: теоретический и практический взгляд. МЦИИ «ОМЕГА САЙНС», международная научно-практическая конференция, Часть 3. 2015. с. 16-24. Челябинск.

6. Чочиев Т. З. Об одном варианте исследования уравнения Риккати // East European Scientific Journal Wschodnioeuropeiskie Czasopismo Naukowe volume 32(2), Warszawa, с. 61-66.