Математика /4. Прикладная математика/

Рябоштан А.Ф., Миленин А.Н., Федоренко В.Е.

Харьковский национальный технический университет сельского хозяйства

имени П. Василенко

 

Конструирование граничных поверхностей межлопаточного пространстваиз множества линий

 

Пусть задано n – параметрическое множество линий

, ,                             (1)

Поверхность конструируется из множества линий (1) наложением (n–1) связей на параметр аi при помощи начальных условий, в качестве которых выступают:

1.     Кривая, с которой линии (1) пересекаются.

2.     Поверхность, с которой линии (1) имеют касание І или ІІ порядка гладкости.

3.     Линейная полоса, для которой линии (1) пересекаются с кркивой – носителем полосы, а вточках пересечения касаются заданных касательных плоскостей.

4.     Полоса ІІ порядка.

Рассмотрим эти условия по порядку:

1.     Кривая m:

,   ,                                   (2)

Из условия пересечения с кривыми множества при подстановке (2) в (1) позволяет получить два уравнения связи параметров

,                                              (3)

где общее количество параметров увеличилось на 1 (прибавился u), а общее количество уравнений на 2, так что из уравнений (3) можно получить уравнение связи параметров

,                                               (4)

обеспечивающее персечение кривых множества с кривой m. Для получения поверхности из (1) необходимо иметь (n–1) таких связей u , следовательно,    (n–1) начальных кривых в виде (2).

2.     Пусть в качестве начального условия задана поверхность

                                           (5)

Условие перпендикулярности касательных к линиям (1) и нормалей поверхности (5) дает дифференциальное уравнение:

                       (6)

где , ,  – частные производные функции

Если из системы уравнений (1), (5), (6) исключить координаты точки касания, получим одно уравнение связи параметров:

                                                 (7)

Следовательно для получения поверхности из множества (1) при соблюдении касания I порядка гладкости к заданным поверхностям необходимо иметь в качестве начальных условий (n–1) поверхностей, которые позволяют записать (n–1) уравнений (6), что совместно с (6) дает (n+1) уравнений, из которых нужно исключить n параметров. Для обеспечения второго порядка соприкосновения заданной поверхности (5) и искомой необходимо вычислить частные производные  по формулам:

,          ,

,

,                           (8)

;

подставить их в уравнение (3), общее для множества поверхностей, полученных из линий (6).

Совместное рассмотрение (1), (5) и полученного уравнения после исключения x, y, z дает уравнение связи параметров:

                                               (9)

Уравнения (7) и (9) гарантирует соприкосновение второго порядка гладкости. Указанное условие рвносильно фиксированию двух параметров.

3. Рассмотрим начальное условие в виде линейной полосы, т.е. кривой (2), в каждой точке которой заданы координаты p и q нормали к искомой поверхности:

,                                                            (10)

Кривая (2) приводит к двум уравнениям связи (3), а оснащение (10) – к уравнению, аналогичному (6).

                        (11)

Следовательно каждая линейная полоса дает 3 уравнения связи, но вводит дополнительный параметр u. Для получения решения из множества (1) необходимо иметь  полос, что имеет смысл при нечетных .

4. Если начальные условия задачи в виде полосы второго порядка гладкости, т.е. кривой (2), в каждой точке которой заданы частные производные

, , , ,                  (12)

удовлетворяющее условиям полосы второго порядка гладкости, то для обеспечения второго порядка соприкосновения искомой поверхности и полосы (12), необходимо, кроме двух уравнений (3) для кривой и уравнения (11) для линейной полосы, составить ещё одно уравнение, куда подставить (2) и (12). Таким образом, для получения решения из множества (1) необходимо задать  полос второго порядка гладкости в виде начальных условий, что имеет смысл при

,                                                    (13)

При решении практических задач из множества (1) можно получить различные поверхности, изменяя количество и вид начальных условий. Например, при  можно взять две линейные полосы и одну кривую или одну полосу, две кривые и одну касательную поверхность и т.д. Общее число  параметров множества (1), способного реализовать заданные начальные условия, равно:

,     (14)

где , , , ,  - число кривых полос первого и второго порядков гладкости, поверхностей с условием касания и соприкосновения второго порядка соответственно

, (, )

При практической реализации рассмотренных выше вопросов следует учитывать условия непротиворечивости задания начальных условий, накладывающие ограничения на взаимное расположение геометрических элементов.

Конкретные расчетные алгоритмы должны быть увязаны с обобщенным алгоритмом дифференциально-параметрического метода и отражать условия ипнциндентности и касания заданного порядка.