Математические науки. Дифференциальные и интегральные уравне­ния

 

Ахажанов Т.Б.

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана

ВАРИАЦИОННЫЙ МОДУЛЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ И КОЭФФИЦИЕНТЫ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ-ХААРА.

 

В данной работе приводятся условия сходимости рядов, составленных из коэффициентов Фурье-Хаара функций ограниченной p- вариаций.

Определения.  Пусть функция  определена на множестве  и , где , ,   - произвольное разбиение множества . Вариационной суммой порядка  функции  по разбиению назовем величину

,

где

,

 и ,

, , .

Для функции одной переменной понятие вариационной суммы впервые ввел Винер [1], для функций двух переменных -Л.Кларксон и С.Адамс [2].

Вариационным модулем непрерывности    порядка   функции  называется величина

где . Будем говорить, что , , если , и что , , если .  Свойства вариационного модуля непрерывности для функции одной переменной исследованы А.П. Терехиным [3], С.С. Волосивецем [4].  

Функции системы Хаара на  задаются так:  при ; если же , ,  и ,

то

  .

Пусть , -параметр суммирования, , ,

тогда кратную систему  Хаара определим следующим образом:

 . 

                   В данной работе исследуется вопрос:  при каких условиях, накладываемых на вариационный модуль непреррыности  порядка функций многих переменных имеет место сходимость ряда

, ,

где -коэффициенты Фурье-Хаара функции . Для случай функций одной переменной такие вопросы рассматривались С.С. Волосивецом [6].

         В следующей теореме приводится оценка коэффициентов Фурье-Хаара функций многих переменных через вариационный модуль непрерывности порядка .

Теорема 1. Пусть  ,  и

, .

Тогда верно неравенство

.   

Теорема 2. Пусть  ,  и

, .

1) Пусть , . Тогда при условии сходимости ряда

 

сходиться ряд

.

2) Пусть , ,  . Тогда при условии сходимости ряда

 

сходиться ряд

.  

Литература

1.     N.Wiener. The quadratic variation of a function and its Fourier coefficients / Massachusetts J.Math., 3(1924), 72-94 с.

2.     J.A. Clarkson and C.R. Adams. On definitions of bounded variation for functions of two variables /  Trans. Amer. Math. Soc., 35(1933), 824-854 с.

3.     Терехин А.П. Приближение функций ограниченной p- вариации / Изв. Вузов. Математика. 1965. №2. 171-187 с.

4.     Волосивец С.С. Приближение функций ограниченной p- вариации полиномами по системам Хаара и Уолша / Мат. Заметки. 1993. Т 53. №6.  11-21 с.

5.     Б.И.Голубов, А.В.Ефимов, В.А.Скворцов. Ряды и преобразования Уолша: теория и применения. /  Москва «Наука», 1987 г.