Ташатов Н.Н.

 

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана

 

кодирование циклических кодов в систематической форме

 

         В статье [4] было введено понятие систематическая форма и рассмотрено уменьшение сложности, которое делает эту форму кодирования более привлекательной. Используем некоторые алгебраические свойства циклического кода для разви­тия процедуры систематического кодирования.

         Запишем вектор сообщения в форме многочлена степени k – 1 следующим образом:

 

.                        (1)

 

Символы сообщения в систематической форме используются как часть кодового сло­ва. Сдвинем символы сообщения в k крайних правых разряда кодового слова, а затем прибавим биты четности, разместив их в крайние левые п – k  разряды. Такой сдвиг не вызывает переполнения п–разрядного регистра сдвига. Таким образом, осуществляем алгебраическую манипуляцию многочлена сообщения, и он оказывается сдвинутым вправо на п - k позиций. Умножив m(X) на , получаем сдвинутый вправо многочлен сообщения:

 

.                 (2)

 

 

 

 

 

Регистр сдвига

                                         0                                                                  n-1

0

…

0

0

…

 

                                     Вектор сообщения

 

Рисунок 1 – Сдвиг многочлена в регистре сдвига с обратными

 связями длины  п на  p = п – k позиций

 

Разделив уравнение (2) на g(X), получим:

 

.                                 (3)

 

Остаток  р(Х) записывается следующим образом:

 

,                 (4)

 

или

 

 по модулю .                          (5)

 

Прибавим р(Х) к обеим частям уравнения (3) и используя сложение по модулю 2, получим [1, 3]:

 

.                            (6)

 

 

         Из (6) вытекает алгоритм кодирования систематического циклического (n, k) – кода:

1.     Вектор сообщения в форме многочлена m(X), степени k – 1, умножается на полином ;

2.     Находится остаток р(Х) от деления  на g(X);

3.     Многочлен  р(Х) заносится в п – k  левых разрядов регистра сдвигов (см. рис. 1)

 

Левая часть уравнения (6) является действительным многочленом кодового слова, так как это многочлен степени не превышающая п – 1, который при делении на g(X) дает нулевой остаток. Это кодовое слово будет выглядеть следующим образом:

 

 

.                            (7)

 

Многочлен кодового слова соответствует вектору кода [1, 2]

 

.                       (8)

 

Рассмотрим пример циклического кода в систематической форме.

Пусть  дан  вектор  сообщения  m = 1 0 0 1 1.  Из набора кодовых слов (7, 4) с помощью порождающего многочлена  надо получить систематическое кодо­вое слово.

 

.                       (9)

 

.                   (10)

 

Разделим   на g(X), получим:

 

.       (11)

 

Используя уравнение (6), получаем следующее:

 

.                 (12)

 

.                 (13)

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1.     Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Изд. 2-е, испр.:  Пер. с англ. – Издательский дом «Вильямс», 2004. – 1104 с. ил.

2.     Вернер М. Основы кодирования. Москва: Техносфера, 2004. – 288 с.

3.     Березюк Н.Т., Андрущенко А.Г., Мощицкий С.С. Кодирование информации (двоичные коды). Харьков, издательское объединение «Вища школа», 1978, 252 с.

4.     Ташатов Н.Н. Систематические линейные блочные коды с контролем четности.  //  Вестник ПГУ им. С.М. Торайгырова. – 2007. – №  (в печати).