Математика/ 5. Математичне моделювання

К. ф.-м.н. Готинчан І.З. , cт. викл. ^*Готинчан Г. І.

Чернівецький торговельно-економічний інститут

Київського національного торговельно-економічного університету

^*Чернівецький факультет Національного технічного університету

“Харківський політехнічний інститут”

Побудова розв’язку алгоритмічного характеру для задачі динаміки в чотирЬох шаровому середовищі методом гібридного інтегрального перетворення Лежандра 2-го роду – Ганкеля 2-го роду - (конторовича - Лєбєдєва) 2-го роду – Фур’є

Останнім часом інтенсивне впровадження композитних матеріалів створює поля різної природи. Дослідження таких полів приводить до розв’язання задач математичної фізики неоднорідних середовищ, побудова розв’язків яких потребує відповідного математичного апарату. Це породило метод гібридних інтегральних перетворень (ГІП), започаткованих в працях Я.С. Уфлянда [1]. Продовження цих досліджень знаходимо в роботах В.С. Проценка [2]. Теорію ГІП закладено в працях [3, 4]. Дана робота присвячена побудові розв’язку задачі динаміки в неоднорідному середовищі методом ГІП.

Розглянемо задачу про побудову обмеженого в області розв’язку сепаратної системи диференці-альних рівнянь гіперболічного типу

(1)

за початковими умовами

(2)

крайовими умовами

(3)

і умовами спряження

(4)

де - диференціальний оператор Бесселя з виродженням в групі старших [3]: - узагальнений диференціальний оператор Лежандра [3,4]

- диференціальний оператор Бесселя з виродженням в групі молодших [3]

- диференціальний оператор Фур’є.

Запишемо систему (1) і початкові умови (2) у матричній формі:

(5)

(6)

Припустимо, що . Покладемо всюди Застосуємо за правилом множення матриць операторну матрицю-рядок [3] до задачі (5), (6). Внаслідок теореми про основну тотожність для оператора отримуємо лінійне диференціальне рівняння зі сталими коефіцієнтами

(7)

Тут

Розв’язком задачі Коші (7) є функція

(8)

Визначимо: 1) породжені неоднорідністю системи функції впливу

2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

3) породжені крайовою умовою в точці функції Гріна

Застосуємо операторну матрицю-стовпець [3] за правилом мно-ження матриць до матриці-елементу де функція визначена формулою (8). Після низки елементарних перетворень отримуємо єдиний розв’язок гіперболічної задачі (1) – (4):

(9)

Тут - дельта-функція, зосереджена в точці

Вектор-функція , де визначені формулою (9), описує в точній аналітичній формі динамічний процес у даному середовищі. Алгоритмічний характер формули (9) дозволяє використовувати одержані розв’язки як в теоретичних дослідженнях, так і в інженерних розрахунках.

Література

1. Уфлянд Я.С. О некоторых новых интегральных преобразованиях и их приложений к задачам математической физики // Вопросы математической физики. – Л., 1976. – С.93-106.

2. Проценко В.С., Соловьев А.И. Некоторые гибридные интегральные преобразования и их приложения в теории упругости неоднородных сред // Прикладная механика. – 1982. – Т. ХIII, №1. – С.62-67.

3. Готинчан І.З. Гібридне інтегральне перетворення (Конторовича - Лєбєдева) – Фур’є – Бесселя – Ейлера на сегменті полярної осі/ І.З. Готинчан, Г.І. Готинчан // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико – математичні науки: зб. наук. праць / Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Кам’янець – Подільський національний університет ім. І. Огієнка. - Кам’янець – Подільськ: Кам’янець – Подільський національний університет ім. І. Огієнка, 2013. – Вип. 8. – С. 33-51.

4. Готинчан І.З. Інтегральне перетворення, породжене гібридним диференціальним оператором (Конторовичча-Лєбєдєва) – Фур’є – Лежандра - Ейлера на сегменті полярної осі / І.З.Готинчан, Г.І.Готинчан // Naukowa przestrzen Europy – 2013: materialy IX miedzynarodowej naukowi – praktycznej conferencji. Volume 32. Matematyka. Fizyka. – Przemysl (07 - 15 kwietnia 2013). Nauka i studia. – P. 8-13.