д

д.т.н., проф. Боронко О. О., студ. Тетьора С. В.

Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут», Україна

Порівняльний аналіз значень власних частот при згинних коливаннях балки Тимошенка з технічною теорією в залежності від геометричних розмірів

Анотація. Балки є невід’ємним елементом механічних систем. Будівництво різноманітних споруд, мостів, залізничних колій – скрізь використовуються балочні конструкції. В сучасному світі спектр їх використання продовжує розширюватись. Балки та стрижні використовуються в багатьох галузях машинобудування при створенні, наприклад, таких конструкцій, як довгі горизонтальні резервуари, вали апаратів, барабанні апарати, елементи хімічного або нафтогазового машинобудування. Як правило, балочні елементи машинобудівних конструкцій працюють при значних вібраційних навантаженнях, тому необхідно визначити їх динамічні характеристики, зокрема, власні частоти. Тенденція розвитку дослідження власних частот йде шляхом ускладнення математичних моделей. Наприклад, якщо раніше для інженерних розрахунків власних частот балок використовувалась технічна теорія, то останнім часом використовується модель Тимошенка. Тому в статті наведено порівняльний аналіз значень власних частот за двома моделями залежно від геометричних характеристик балок та дана оцінка меж використання технічної теорії при визначенні кількості власних частот балок.

Ключові слова: згинні коливання; балка Тимошенка

Вступ

Як відомо, в класичній теорії Я. Бернуллі та Л. Ейлера вважається, що: 1) поперечні перерізи стержня, плоскі і перпендикулярні до осі стержня до деформації, під час згину залишаються плоскими і перпендикулярними деформованій осі стержня; 2) нормальні напруження на площинках, паралельних осі, незначні, тобто повздовжні перерізи чинять опір згину незалежно, і не впливаючи один на одного; 3) інерцією обертання елемента стержня при згині нехтуємо. В теорії Тимошенка враховується інерція повороту і зсув. Крім того вважається, що плоскі перерізи залишаються плоскими, але не перпендикулярними до деформованої осі стержня, а додатково під впливом зсуву повертаються на деякий кут.

Постановка задачі

Об’єктом дослідження є однорідна балка (рис. 1), яка являє собою двомірну область простору з декартової системи координат введеної наступним чином: в тілі балки фіксується лінія приведення, яка називається середньою лінією , вісь напрямлена зліва направо вздовж середньої лінії, вісь – вниз, перпендикулярно осі . В указаній системі відліку балка як двомірна область визначається як множина точок

Рис.1. Однорідна балка

. Тут і надалі будемо використовувати позначення: –довжина балки, – висота, – ширина.

Модель Тимошенка

Процес коливань балки Тимошенка визначає двома функціями

де - прогин, - повний кут повороту перерізу балки.

Їх можна знайти з системи рівнянь вимушених коливань пружної балки Тимошенка:

(1)

Вважаючи, що і виключаючи , можна знайти рівняння для прогину. Для цього про диференціюємо по друге рівняння системи (1):

(2)

З першої рівності (1) знаходимо (при) вирази:

(3)

якими заміняємо всі останні доданки рівняння (2). Оскільки момент інерції маси елемента одиничної довжини , густина матеріалу балки та осьовий момент інерції перерізу пов’язані співвідношенням приходимо до рівняння:

(4)

Модель Ейлера-Бернуллі

У випадку, коли призматичного стержня згинна жорсткість та площа поперечного перерізу залишаються незмінними по всій довжині, тому рівняння поперечних коливань набуває вигляду

Загальний розв’язок буде виглядати:

(5)

Щоб знайти сталі потрібно задати граничні умови. Для прикладу розглянемо шарнірно-оперту балку, для якої:

(6)

В даному випадку власні кутові частоти будуть визначатися за формулою:

Розв’язок рівняння Тимошенка

У випадку шарнірного закріплення кінців розв’язок буде мати вигляд:

(7)

Підставляючи (7) в рівняння (4) отримаємо частотне рівняння. Із частотного рівняння знаходять для того самого числа півхвиль дві власні частоти та , що відповідають першому та другому типу коливань. Частоти другого спектра за величиною значно більші від частот першого спектра і порівнянні з ними при більших . Тому на практиці визначають тільки кілька нижчих частот першого спектра і порівнюють з частотами, що одержані за допомогою технічної теорії. Це дає можливість оцінити вплив зсуву та інерції обертання. Внаслідок зсуву та інерції обертання власні частоти коливань балки зменшуються і тим більше, чим вищий номер n частоти.

В якості прикладу розглядається сталева () балка довжиною та поперечним перерізом .

В таблиці 1 наведено порівняльний аналіз значень власних частот за двома теоріями.

Таблиця 1

Порівняльний аналіз значень власних частот за двома теоріями.

№	Технічна	Тимошенко	Похибка,%
1	1436	1420,08	-1,12
2	5744	5501,84	-4,40
3	12924	11804,41	-9,48
4	22976	19811,58	-15,97
5	35900	29065,76	-23,51
6	51696	39213,30	-31,83
7	70364	49997,97	-40,73
8	91904	61238,74	-50,07
9	116316	72808,19	-59,76
10	143600	84616,05	-69,71
11	173756	96597,59	-79,88
12	206784	108705,83	-90,22
13	242684	120906,23	-100,72
14	281456	133173,05	-111,35
15	323100	145486,96	-122,08
16	367616	157833,29	-132,91
17	415004	170200,83	-143,83
18	465264	182580,98	-154,83
19	518396	194967,12	-165,89
20	574400	207354,15	-177,01
21	633276	219738,13	-188,20
22	695024	232116,06	-199,43
23	759644	244485,63	-210,71
24	827136	256845,13	-222,04
25	897500	269193,27	-233,40
26	970736	281529,14	-244,81
27	1046844	293852,10	-256,25
28	1125824	306161,73	-267,72
29	1207676	318457,81	-279,23
30	1292400	330740,25	-290,76

На рис. 2 наведено графік залежності значення власної частоти за двома теоріями від порядкового номера частоти .

Рис. 2. Залежність частоти від порядкового номера

Розглянемо різні за довжиною та розміром поперечного перерізу балки. Для того щоб оцінити похибки між технічною теорією і теорією Тимошенка, будемо розраховувати 5 частоту. Знайдемо залежність між похибкою та геометрією балки (довжиною і моментом інерції )

В таблиці 2 наведено значення власних частот для різних за розмірами поперечного перерізу та довжиною балок.

Таблиця 2.

Значення власних частот для різних за розмірами поперечного перерізу та довжиною балок за двома теоріями

L, м	bxh, мм	I, м⁴	Технічна	Тимошенко	Похибка, %	[n]
0,5	100х200	0,00006667	287254,44	180242,78	37,25	-
	150х250	0,000195	359068,05	107677,31	70,01	-
	200х100	0,000017	143627,22	84616,05	41,09	1
	200х300	0,00045	430881,66	110246,75	74,41	-
	400х400	0,002133	574508,88	113212,68	80,29	-
	300х800	0,0128	1149017,76	116657,75	89,85	-
1	100х200	0,00006667	71813,61	42308,03	41,09	1
	150х250	0,000195	89767,01	45918,52	48,85	-
	200х100	0,000017	35906,80	29065,77	19,05	2
	200х300	0,00045	107720,41	48495,65	54,98	-
	400х400	0,002133	143627,22	51838,54	63,91	-
	300х800	0,0128	287254,44	56606,34	80,29	-
1,5	100х200	0,00006667	31917,16	23172,38	27,40	1
	150х250	0,000195	39896,45	26025,52	34,77	1
	200х100	0,000017	15958,58	14308,63	10,34	3
	200х300	0,00045	47875,74	28205,35	41,09	-
	400х400	0,002133	63834,32	31247,21	51,05	-
	300х800	0,0128	127668,64	36218,24	71,63	-
2	100х200	0,00006667	17953,40	14532,88	19,05	2
	150х250	0,000195	22441,75	16743,17	25,39	1
	200х100	0,000017	8976,70	8408,07	6,33	4
	200х300	0,00045	26930,10	18523,45	31,22	1
	400х400	0,002133	35906,80	21154,01	41,09	-
	300х800	0,0128	71813,61	25919,27	63,91	-
2,5	100х200	0,00006667	11490,18	9905,79	13,79	2
	150х250	0,000195	14362,72	11626,31	19,05	2
	200х100	0,000017	5745,09	5501,85	4,23	5
	200х300	0,00045	17235,27	13071,10	24,16	1
	400х400	0,002133	22980,36	15309,69	33,38	1
	300х800	0,0128	45960,71	19729,16	57,07	-
3	100х200	0,00006667	7979,29	7154,32	10,34	3
	150х250	0,000195	9974,11	8511,29	14,67	2
	200х100	0,000017	3989,64	3869,40	3,01	6
	200х300	0,00045	11968,93	9688,59	19,05	2
	400х400	0,002133	15958,58	11586,19	27,40	1
	300х800	0,0128	31917,16	15623,61	51,05	-
3,5	100х200	0,00006667	5862,34	5393,94	7,99	3
	150х250	0,000195	7327,92	6481,12	11,56	3
	200х100	0,000017	2931,17	2865,25	2,25	7
	200х300	0,00045	8793,50	7448,62	15,29	2
	400х400	0,002133	11724,67	9059,85	22,73	1
	300х800	0,0128	23449,34	12721,70	45,75	-
4	100х200	0,00006667	4488,35	4204,04	6,33	4
	150х250	0,000195	5610,44	5088,95	9,29	3
	200х100	0,000017	2244,18	2205,14	1,74	8
	200х300	0,00045	6732,53	5892,23	12,48	2
	400х400	0,002133	8976,70	7266,44	19,05	2
	300х800	0,0128	17953,40	10577,01	41,09	-
4,5	100х200	0,00006667	3546,35	3364,37	5,13	4
	150х250	0,000195	4432,94	4095,46	7,61	3
	200х100	0,000017	1773,18	1748,63	1,38	9
	200х300	0,00045	5319,53	4769,54	10,34	3
	400х400	0,002133	7092,70	5948,52	16,13	2
	300х800	0,0128	14185,40	8938,69	36,99	1
5	100х200	0,00006667	2872,54	2750,92	4,23	5
	150х250	0,000195	3590,68	3363,23	6,33	4
	200х100	0,000017	1436,27	1420,09	1,13	10
	200х300	0,00045	4308,82	3934,80	8,68	3
	400х400	0,002133	5745,09	4952,90	13,79	2
	300х800	0,0128	11490,18	7654,84	33,38	1

В таблиці 2 наведено допустимі номери [n] власних частот, які можна визначити за допомогою технічної теорії за [2]. Позначка «-» означає, що для даного перерізу і довжини не можна використовувати технічну теорію.

На рисунках 3(а-е) зображені графіки залежності власної частоти коливань від довжини балки за двома теоріями.