Математика/1.
Дифференциальные и интегральные уравнения
5. Математическое
моделирование
к.ф.- м.н. Полетаев Г. С.
Одесская государственная академия строительства и архитектуры Украины
О методе решения уравнений с неизвестными верхними треугольными матрицами и проекторами
Предмет рассмотрения и вводные положения
0.1. Матричные уравнения с неизвестными треугольными матрицами и
проекторами, в том числе уравнения вида:
; (1)
, (2)
являются подклассом реализаций в соответствующих кольцах обнаруженных в
последние десятилетия одночленных однопроекторных второго порядка уравнений в
кольцах с факторизационными парами [1 - 5]. Уравнения, допускающие трактовку
как частные виды указанных однопроекторных уравнений, рассматривались ранее [6]
в связи с изучением задачи факторизации
элементов абстрактного кольца. Матричные уравнения вида (1), (2) с неизвестными
верхними треугольными матрицами 
и родственные им [5,
7, 8] возникают и при изучении специальных новых задач механики для
совокупностей одинаковых по геометрическим и физическим характеристикам тел. Такие
исследования начаты для балок автором [2, 5] и, в
сочетании с классическими методами, продолжены для статически неопределимых рам
Л.И. Солдатовым [7,8] . Уравнения (2) могут возникать в задачах, моделируемых
посредством матричных уравнений относительно неизвестной матрицы 
: 
, - в той ситуации, когда некоторые из элементов матрицы 
неизвестны, а часть
элементов матрицы наперед задана. К
уравнениям (1),(2) могут приводить также
задачи, связанные с изучением методов приближенного
решения интегральных уравнений . Посредством абстрактных уравнений из [2],
уравнения (1),(2) связаны с интегральными типа Винера-Хопфа [9],[2].
Этим сообщением продолжается
ознакомление с идеей единого подхода к решению уравнений (1), (2) на основе положений
развиваемой теории «Уравнений в кольцах с факторизационными парами». Колец с
двумя подкольцами, обладающими
дополнительными свойствами [1 - 9].
1. Обозначения, постановка задачи
1.1. Для уточнения постановки задачи и формулировки результатов, следуя
[5] (ср.[6]; см. также [7, 8]), обозначим через 
кольцо вещественных
числовых квадратных матриц размера 
, 
, 
. Пусть 
, 
- подкольца верхних и
нижних треугольных матриц из , соответственно. Через 
, 
обозначим [4,6-9] коммутирующие
проекторы 
, .Это аддитивные совпадающие со своими квадратами отображения 
, 
, соответственно, которые каждой матрице 
ставят в соответствие
матрицы 
, 
, получающиеся из 
заменой её элементов, расположенных
для 
ниже, а для 
выше главной
диагонали,- нулями. Остальные элементы при этом остаются
прежними. Положим [4, 6 - 8] 
; 
; 
; и определим множества 
; 
; 
. Легко видеть, что 
, 
. Ясно, что 
составляют все диагональные матрицы
из 
. Результат применения введенных проекторов к матрицам, их
суммам и произведениям, а также принадлежность матрицы из подмножеству 
, 
будем отмечать, при целесообразности,
соответствующими знаками +, -, 0. Используя терминологию из [2, 4, 7] и
известные положения ( [6], P. 276 – 278; [10], С.
27; [11], C. 137 – 141), можно утверждать, что , , является кольцом с
факторизационной парой (ФП) (, ) [12]. Эта ФП порождается проекторами
, , введенными выше.
1.2. В уравнениях (1), (2), по предположению, матрица – коэффициент ; - матрица 
, являющаяся нижней треугольной с нулями на главной
диагонали, а также матрица 
в правой части
считаются известными, причем - неособенной; , . Задача разрешимости уравнений (1), (2) заключается в
отыскании всех удовлетворяющих (1),(2), соответственно, матриц 
. Ясно, что уравнение
(2) – частный случай уравнения (1).
2. Факторизация
Важную роль [4, 8] при построении формул, для матриц – решений 
уравнений (1), (2)
играют нормированные правильные факторизации их матриц – коэффициентов и соответствующие
правильные факторизации обратных матриц 
по факторизационной
паре (, ), т. е. разложения матриц , на обратимые в
соответствующих подкольцах , треугольные и
диагональные множители [2 - 12]:
, (3)
, (4)
(5)
; 
; 
; .
Нормирование осуществляется условием: «на главных диагоналях матриц –
сомножителей: 
, 
, а, следовательно, и 
, 
- в упомянутых
разложениях расположены только числа «1», то есть условием
, (6)
где 
- единичная матрица из
кольца .
3.
Матричные представления решений уравнений (1), (2) и выводы
3.1. Если задача состоит в решении уравнения (1) непосредственно или
это уравнение (1) появилось в прикладной задаче, как уравнение – модель,
связывающее моделируемую матрицей совокупность
неизвестных величин с моделируемыми матрицами , , совокупностями
известных, возникает вопрос о разрешимости (1). Аналогично с уравнением (2).
Прямо к уравнениям (1),(2), известные
методы решения неприменимы из-за
действия проектора и поиска лишь решений из подкольца верхних треугольных
матриц. Приведение к ситуациям, допускающим их применение может быть сопряжено
с существенным усложнением, особенно, при больших «
». Преодолеть аналитические трудности и установить матричные
представления решений можнона основе следующего.
3.2. Пусть , , и 
. Если, кроме того, все остальные последовательные главные
миноры матрицы отличны от нуля, то в
силу определений [2 – 4] и теоремы о разложении матрицы на треугольные
множители ([10], С. 50; теорема 2 при 
) имеется нормированная правильная левая факторизация [2 – 4,
6]:
,
где 
- нижняя треугольная
матрица такая, что 
; 
- единичная матрица
размера 
; 
- диагональная, а 
- верхняя треугольная
матрица, 
, причем 
- обратимы в своих
подкольцах , , , соответственно. Из существования такой факторизации (3)
вытекает, непосредственно, существование и нормированной правильной правой
факторизации обратной матрицы (4). Для фактического
построения левой нормированной правильной факторизации (3) могут быть полезны
соответствующие результаты [10], С. 50 – 52; - пакеты компьютерного
математического обеспечения типа MathCad и
другие результаты, в том числе, из [5, 6]. Как отмечено выше, кольцо матриц является кольцом с
единицей, роль которой играет единичная матрица , и факторизационной парой (, ) нижних и верхних треугольных. Эта факторизационная пара
порождена введенными выше проекторами 
Поэтому результаты из
работы [2] применимы. В силу соответствующей части теоремы 9 ([2], С 16, 17) со
второй из формул (22) при 
, 
, 
, 
заключаем, что
справедлива
Теорема. Пусть матрица
– коэффициент уравнения (1) ; , неособенная и все её
последовательные главные миноры отличны от нуля. Тогда, какова бы ни была
заданная произвольная нижняя треугольная матрица , все элементы главной диагонали которой нули, при любой
правой части матричное уравнение с
проектором и верхней треугольной неизвестной (1) имеет в одно и только одно
решение . Его можно определить по формуле:
, (7)
где 
; 
; 
- соответствующие
матрицы – сомножители нормированных правильных факторизаций (3), (4).
Из теоремы при 
и соответствующих
условиях для уравнения (2) вытекает такая формула матричного представления
решения:
, (8)
где матрицы , , - введены выше.
Укажем, что формулы (7), (8) вытекают также, например, из формулы (12) [4], С.
194.
3.3.
Выводы: 1. В силу изложенного, решения уравнений (1), (2) с треугольными
неизвестными матрицами и проектором, при
указанных в теореме предположениях, можно найти таким методом.
А) Находим предварительно факторы – сомножители, т. е. матрицы 
, 
, 
нормированной
правильной правой факторизации (4) обратной матрицы . При этом, можно использовать
формулы (3), (5).
В) Строим матрицы – решения уравнений (1), (2) по формулам (7),(8), соответственно,
используя, при необходимости, формулы (3),(5). В случае исходных прикладных
задач, моделируемых уравнениями – моделями (1),(2), по формулам (7), (8),
соответственно, находится совокупность искомых величин, моделируемая матрицей .
2. Решение в подкольце верхних треугольных матриц при указанных
предположениях единственно.
Литература:
1. Полетаев Г. С. О некоторых интегральных уравнениях, встречающихся в
задачах механики и о теории их абстрактных аналогов// VIII
Воронежская зимняя математическая школа. Тезисы докладов. – Воронеж: ВГУ, 1974.
– С. 87 – 89.
2. Полетаев Г. С. Об уравнениях и системах одного типа в кольцах с
факторизационными парами. – Киев, 1988. – 20 с. – (Препринт / АН УССР. Институт
математики:88.31).
3. Полетаев Г. С. Абстрактный аналог парного уравнения типа свертки в
кольце с факторизационной парой //Укр. матем. журн. – 1991. – 43, № 9. – С.
1201 – 1213.
4. Полетаев Г. С. Об однопроекторных второго порядка уравнениях с
правильно факторизуемыми коэффициентами в кольце с факторизационной парой //
Вестник Херсонского государственного технического университета. – 2000. - № 2
(8). – С. 191 – 195.
5. Полетаев Г. С. О постановках, матричных моделях некоторых обратных
задач механики балок и представлениях факторизованных матриц влияния //
Математическое моделирование в образовании, науке и промышленности. – С. – Пб.
– 2000. – С. 146 – 148.
6. McNabb A.,
Schumitzky A. Factorization of Operators I: Algebraic Theory and Examples // J.
Funct. Anal. – 1972. – 9, № 3. – Р. 262 –
295.
7. Полетаев Г. С., Солдатов Л. И. О задачах механики и уравнениях с
неизвестной треугольной матрицей и проекторами // Совр. методы проектир. машин.
Расчет, конструирование и технология изготовления / Сб. научн. труд. – Вып. 1.
в 3-х т. – Т. 2 – Мн.: УП «Технопринт», 2002. – 477 с. – С. 244 – 249.
8. Полетаев Г. С., Солдатов Л. И. Нелинейная динамика механических и
биологических систем. // Межвуз. научн. сб. Сарат. гос. техн. ун. – т., вып. 2.
– Саратов, 2004. – С. 133 – 136.
9. Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами,
зависящими от разности аргументов // Успехи мат. наук. – 1958. – 13, вып. 5. –
С. 3 – 120.
10. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988. – 549 с.
11. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука,
1977. – 304 с.
12. Полетаев Г. С. Некоторые результаты о парных уравнениях в кольцах с
факторизационными парами // Вісник Харківського національного університету. Серія
“Математика, прикладна математика і механіка”. - № 582, - 2003. – С. 143 – 149.