УДК. 517.954.

 

О ЗАДАЧЕ ГУРСА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ   .

Усенбаева Б.А. , Кулажанов С.К.

(ЮКГУ им. М. Ауезова, г. Шымкент.)

 

                  В этом докладе мы изложим метод Римана для решения задачи Гурса для линейного уравнения гиперболического типа с двумя независимыми переменными.    

                 Не ставя своей целью дать полный перечень всех возможных краевых задач, рассмотрим более подробно задачу определения решения по данным на характеристиках. Эту краевую задачу часто называют задачей Гурса. Задача с данными на характеристиках представляет большой интерес с точки зрения физических приложений. Она встречается, например, при изучении процессов сорбции и десорбции газов, процессов сушки и многих других задач.

                Рассмотрим в области    ограниченная отрезком   оси ,  а при     характеристиками  

  и

уравнения                    

               (1).

Для уравнения  (1)  АС  и  ВС  является характеристикой.

             Задача  Гурса:  Найти решение уравнения (1) удовлетворяющее условию

           (2).

             При ,    (где  )  найдется решение уравнения  (1)    

            Функцией Римана оператора  называется функция  , удовлетворяющая условиям:

1)                      Функции  и   непрерывны по совокупности переменных  на ;

2)                      При каждой  функция   удовлетворяет уравнению

,  ,

и условиям на характеристиках   и   (рис. 1)

,                (3)

                              

                               

                

                                                                              

                                                                   

 

                                                                                               

                                                        

                                                      

                                  

 

                                                                        

 

 

                                              

                                   0                                             

 

                                                        (рис. 1)

 

         Из условиям (3) выводим:

,             (4)

,    .  (5)

         В соответствии с этим определением функция Римана   оператора  непрерывна на  вместе с производными  и  , удовлетворяет уравнению.

 на  и условиям на характеристиках  и 

,          (3*)

так что

,             (4*)

,    .  (5*)

 

         Исследование задачи Гурса (1) – (2) с помощью функции Римана для главной части уравнения (1) сводится к исследованию интегро-дифференциального уравнения 

           (6)

 - функция Римана,

 - гипергеометрическая функция.

,

.

 

                Литературы:

1. Степанов В.В. «Курс дифференциальных уравнений», г.1958.

2. Владимиров В.С. «Уравнения математической физики», 1981.

3. Король И.Л. «Теории краевых задач для элипт .-гиперболи. типа», г. 1955.