Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения

К.ф.-м.н. Тингаев А.А.

Одесский институт финансов УГУФМТ, Украина

Асимптотика решений сингулярных систем между двумя особыми точками

Данная работа является продолжением статьи [1]. В ней изучается вопрос об асимптотическом поведении решений сингулярных систем дифференциальных уравнений первого порядка между двумя особыми точками, в которых система уравнений имеет, вообще говоря, разные особенности. Этот факт существенно расширяет класс изучаемых сингулярных дифференциальных уравнений и систем, что, в свою очередь, приводит к более широким практическим приложениям. При этом асимптотическая оценка решения сингулярной системы уравнений выбирается в зависимости от вида особенности на соответствующем конце промежутка.

Получены достаточные условия существования известных асимптотических оценок таких решений. Исследование основано на применении качественного метода кривых и поверхностей без контакта ([2]).

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида:

, (1)

для которой предполагается выполнение условий В:

I., , , где . Функции удовлетворяют условию: .

II., причем и функция на и , а функция на и .

III. .

IV. либо для любого ; либо для любого .

Теорема. Пусть для системы (1), удовлетворяющей условиям В, в качестве функции Ляпунова взята функция . И пусть функции таковы, что на , на , , причем

и (2)

Пусть функции удовлетворяют условиям:

, в области (3)

, в области (4)

, в области , (5)

, — достаточно малые положительные постоянные, .

Тогда на существует решение системы (1) , график которого лежит внутри области , такое, что , причем на , на , на , .

Доказательство

I. Сначала изучим поведение решения системы (1) при на поверхности

, (6)

где пока не определено. Обозначим — вектор нормали на поверхности (6), внешней по отношению к области (3). Рассмотрим скалярное произведение

Первое слагаемое в последнем выражении сохраняет знак, совпадающий со знаком , а остальные слагаемые не влияют на знак скалярного произведения за счет выбора большого значения и стремящегося к нулю . Первый элемент суммы оценим по модулю снизу, а остальные — сверху. Нам надо добиться того, чтобы оценка снизу первой суммы оказалась больше оценки сверху второй суммы, выбрав большое значение при малом значении .

I.1) Если , то . В силу условий теоремы имеем следующие оценки и в силу условия (3):

,

тогда выбираем настолько большим, чтобы , откуда , . Таким образом, знак скалярного произведения совпадает со знаком , т.е. .

I.2) Аналогично рассуждаем в предположении, что сумма . Тогда , откуда получаем . В силу (2) последнее слагаемое не влияет на знак скалярного произведения за счет выбора малого . Тогда получаем, что на полуинтервале :

.

В данном случае примером является функция , откуда

т.е. условие (2) выполняется.

II. Теперь рассмотрим решение системы (1) при на поверхности

(7)

Вектор нормали к поверхности (7), внешний по отношению к области (4) имеет вид: . Рассмотрим скалярное произведение:

Рассуждение, аналогичное предыдущему, приводит к выводу, что при выборе достаточно большого значения и достаточно малом на :

.

III. Изучим поведение решения системы (1) при на поверхности:

, (8)

с — пока неопределенный параметр. Вектор нормали к поверхности (8), внешний по отношению к области (5) имеет вид: .

Рассмотрим скалярное произведение:

III.1) Если , то ; подбираем значение параметра так чтобы: , откуда .

III.2) Если , то рассуждаем аналогично.

Таким образом, в данном случае знак скалярного произведения также совпадает со знаком функций .

В результате получаем, если все точки на , и являются точками строгого входа при возрастании переменной , то, в силу топологического принципа Важевского ([4]), при внутри лежит хотя бы одна интегральная кривая системы (1).

Предположим далее, что сечение области плоскостью входит в сечение , т.е. . Тогда выделенная интегральная кривая при возрастании переменной на сегменте не выйдет за пределы области .

Аналогично, если , то она не выйдет за пределы области при возрастании переменной . И потому интегральная кривая продолжаема на . В результате получаем, что существует хотя бы одна интегральная кривая, продолжаемая на и лежащая внутри на , внутри на и внутри на .

Точно так же рассуждаем и в случае, когда все точки на и являются точками строгого выхода при возрастании переменной . Тогда в области лежит хотя бы одна интегральная кривая на . И она продолжаема вплоть до при убывании , если сечение области плоскостью входит в . Тогда выделенная интегральная кривая при убывании переменной на не выйдет за пределы области .

Аналогично, если , то тогда она не выйдет за пределы области при убывании переменной на .

Итак, получили, что имеется хотя бы одна интегральная кривая, продолжаемая на и лежащая внутри области на , внутри на и внутри на .

Таким образом, теорема доказана.

Пример.

Рассмотрим пример иллюстрирующий результат теоремы.

, период , .

Здесь области , и

, функции .

У этого уравнения существует хотя бы одно решение, продолжаемое на , и лежащее внутри .

Литература:

1. Тингаев А.А. Продолжаемость решений сингулярных систем между двумя особыми точками // Новини на научния прогрес. – 610. Том 6. София. «Бял ГРАД БГ» - с.45-49.

2. Гаврилов Н.И. Методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. ― М.: Высш. шк., 562. ― 314 с.

3. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Пер. с англ. -- М.: Мир, 570. -- 76 с.

4. Wazewski T. Sur une principe topologique de l'examen asymptotique des integrales des equations differentielles//Ann. Soc. Polon. Math. -- 547. -- Vol. 6, № 8. -- Р. 279--313.