Жуматаев Н.С., Мусабекова Л.М.

Южно-Казахстанский государственный университет им. М. Ауезова

Подходы к анализу устойчивости стационарных состояний динамических систем с учетом неполноты информации об

управляющих параметрах

1. Введение

Анализ устойчивости стационарных состояний динамических систем сопряжен с необходимостью учета множества управляющих параметров. Однако полная информация в случае сложных не всегда имеется в распоряжении исследователя. Особенно характерна такая ситуация при анализе сложных физико-химических систем [1].

Автоколебательные и периодические режимы работы химических реакторов изучали многие исследователи. Получены важные теоретические результаты и накоплен большой объем экспериментальных данных [1, 2]. Исследованию подвергались конкретные химические системы со сложной кинетикой. Строились специальные математические модели общего вида. Выводы из этих теоретических моделей в существенной мере определяются конкретной кинетикой системы и, в частности, порядками отдельных реакций и стадий [2, 3].

Рассмотрен анализ режимов работы автокаталитических реакторов с учетом минимума необходимой информации о кинетике отдельных стадий реакции. Определены условия возникновения переходных режимов и нестабильности стационарных состояний.

В данной статье приведен пример исследования условий возникновения периодических режимов химических превращений в аппарате без полной информации о стадиях и порядках химических реакций. Исследование опирается только на знание некоторых особенностей протекания реакций в автокаталитической системе. С ситуацией неполноты информации о процессе инженеры-проектировщики сталкиваются весьма часто. Поэтому предлагаемая постановка задачи актуальна и имеет практическое значение.

2 Реакция псевдопервого порядка

Рассматривается химический аппарат, в котором происходит необратимое превращение основного сырьевого продукта в целевой продукт. Концентрации других компонентов процесса не принимаются во внимание, что обосновывается их избытком в рабочем объеме аппарата. Кинетическое уравнение для скорости превращения продукта представим в виде:

, (1)

К данному типу процессов с той или иной степенью точности можно отнести целый ряд многостадийных химических реакций [3]. Скорость превращения вещества с учетом автокатализа и частичной обратимости процесса превращения в реакторе представим в общем виде:

. (2)

Рассмотрим стационарную точку процесса:

, (3)

Исследуем характер стационарной точки на линейную устойчивость. Рассмотрим и - флуктуации концентраций веществ и соответственно:

, (4)

Используя выражение (4) после преобразований линеаризованная система кинетических уравнений выглядит следующим образом:

, (5)

. (6)

Получаем якобиан этой системы:

(7)

Выражение (7) приводит к характеристическому уравнению:

. (8)

Необходимо различать случаи четного и нечетного порядка реакции.

Рассмотрим вначале случай четного порядка реакции (8) по веществу . В этом случае в окрестности стационарной точки справедливо:

. (9)

Тогда имеем:

. (10)

Проанализируем это выражение. Здесь рассматриваются конкуренции двух факторов. С одной стороны присутствие вещества в системе может катализировать процесс превращения вещества . С другой стороны, при достаточной скорости обратного превращения конверсия может уменьшаться. Если доминирует первый фактор, то скорость превращения вещества является возрастающей функцией, как концентрации , так и концентрации вещества . При этом выполняется условие:

. (11)

В этом случае определяем тип стационарной точки как центр, и в данной системе может возникать периодическое колебание концентрационного поля. Частота возникающих колебаний определяется по формуле:

. (12)

Если обратное превращение протекает достаточно интенсивно, то справедливо

(13)

Тогда тип стационарной точки определяется как седловая. Процесс превращения в системе носит нестационарный, переходный характер, поскольку не выполняются условия существования периодического режима. На основе проведенного анализа получили таблицу типов стационарных точек системы (5), (6) с якобианом:

Таблица 1

		Тип стационарной точки
<0	<0	Седло. Колебательный режим не возможен.
<0	>0	Неустойчивый узел или неустойчивый фокус. Возможен колебательный режим
>0	<0	Седло. Колебательный режим не возможен.
>0	>0	Устойчивый узел или устойчивый фокус. Колебательный режим не возможен.

Для первого случая дана иллюстрация на рисунке 1, соответствующего условию (11), а на рисунке 2 – иллюстрация второго случая, соответствующего условию (13). Для безразмерной скорости принято обозначение:

(14)

Рисунок 1 Характерное изменение концентрации вещества - случай (11)

Рисунок 2 Характерное изменение концентрации вещества - случай (13)

Если реализуется случай нечетного порядка реакции по веществу то стационарная точка является неустойчивой и может иметь тип либо седла, либо неустойчивого фокуса. Вторая ситуация также соответствует сильному автокатализу реакции продуктом

Таким образом, можно сделать вывод, что инженерный анализ поведения химических систем в реакторе в окрестности стационарных состояний может быть проведен даже при отсутствии полной информации о кинетике процесса. Показано, какие факторы при этом должны приниматься во внимание.

Во-первых, присутствие вещества продукта реакции в системе может катализировать процесс превращения вещества .

В то же время, при достаточной скорости обратного превращения конверсия может уменьшаться. В первом случае скорость превращения вещества является возрастающей функцией, как концентрации , так и концентрации вещества .

2 Реакция второго порядка с автокатализом

Рассмотрим методологию анализа устойчивости реакционной автокаталитической системы второго порядка при отсутствии детальной информации о кинетических константах стадий реакции. В качестве модельной удобно рассматривать следующую схему:

;

.

Полная реакция имеет вид . Исходное вещество A превращается в конечный продукт В через промежуточный продукт реакции Х, который катализирует свое собственное образование. Т.к. в системе возникает только один промежуточный продукт, то система имеет одну степень свободы, но в ней может возникнуть множественность стационарных состояний. Учет диффузии не может качественно изменить картину стационарных состояний, т.к. они определяются только балансом образования новых химических веществ в системе при химических реакциях.

Система кинетических уравнений выглядит следующим образом

; (15)

; (16)

. (17)

Система имеет два множества стационарных состояний.

1. ; ;

В этом состоянии реакция не зажигается, т.к. необходима затравка для инициирования автокаталитического процесса. Поэтому данное состояние не представляет практического интереса.

2. ; ; .

Исследуем устойчивость данного стационарного состояния с помощью метода малых возмущений:

; ;

После подстановки данных выражений в систему кинетических уравнений и линеаризации полученных соотношений приходим к системе линейных уравнений для возмущений стационарного состояния:

(18)

(19)

(20)

Для удобства дальнейших выкладок введем обозначения

; ; ; . (21)

Тогда якобиан линеаризованной системы приобретает вид:

(22)

Характеристическое уравнение принимает вид

. (23)

Отсюда видно, что устойчивость системы определяется всего двумя управляющими параметрами, не требующими детальной информации обо всех кинетических константах системы:

; (24)

. (25)

Характеристические числа системы:

На рисунке 3 представлена диаграмма стационарных состояний системы в пространстве управляющих параметров

Рисунок 3. Диаграмма стационарных состояний системы второго порядка с автокатализом

3. Выводы

Нелинейность рассматриваемых математических моделей играет принципиальную роль в развитии процессов самоорганизации и возникновении периодических режимов [4, 5, 6]. В математические модели, описывающих структуру потоков и режимы работы химических реакторов входят уравнения механики сплошных сред, тепло- и массопереноса, неравновесной термодинамики и химической кинетики.

Линейный анализ устойчивости сводится к тому, чтобы построить кривые нейтральной устойчивости, разделяющие области устойчивости и неустойчивости в пространстве управляющих параметров. При исследовании условий возникновения межфазной неустойчивости в системе с поверхностной химической реакцией рассматривается ситуация, когда поверхностно- активные вещества подводятся к поверхности раздела фаз, адсорбируются на ней и вступают в реакцию. Обычно промышленные процессы протекают в условиях, очень далеких от границ устойчивости и осложнены влиянием различных физико-химических факторов, поэтому задача расчета потоков массы и тепла представляет собой чрезвычайно трудную проблему.

С другой стороны, эффективность применения численного эксперимента существенно снижается при отсутствии надежных данных обо всех кинетических уравнениях, описывающих различные стадии процессов массопереноса в реакторе.

Поэтому, несмотря на высокую информативность расчетов, основанных на нелинейном и численном анализе межфазной нестабильности, они не всегда дают метод определения характеристик массопереноса в условиях межфазной конвекции, пригодного для инженерных расчетов, и могут служить лишь основой для построения эффективных методов расчета.

Поскольку ситуация неполноты информации о процессе весьма обычна при проектировании промышленных аппаратов, необходимо обеспечить достаточную надежность математического моделирования хотя бы по ключевым характеристикам, определяющим режимные переходы в системе.

В полученных в настоящей работе соотношениях эмпирические параметры должны определяться для каждой системы с известной структурой кинетических зон и гидродинамическими условиями. На основе численных методов на компьютерах может быть проведено математическое моделирование массопереноса с учетом нелинейности определяющих уравнений. Полученная модель достаточно надежна с точки зрения прогнозирования и анализа оптимальных режимов. Численные эксперименты позволяют провести детальное параметрическое исследование процесса, а также получить такую информацию, которую весьма трудно извлечь из натурного эксперимента.

Литература

1. М.Холодниок, А.Клич, М.Кубичек, М.Марек. Методы анализа нелинейных динамических моделей: Пер. с чешск. – М.: Мир, 1991. – 368с.

2. Field R.J., Noyes R.M. (1974b). Oscillations in Chemical Systems, Part 5. Quantitative Explanation of Band Migration in the Belousov - Zhabotinskii Reaction//J. Am. Chem. Soc. - 2001.- Vol 96.-P.

3. Showalter K., Noyes R.M., Turner H. Detailed Studies of Trigger Wave Initiation and Detection//J. Am. Chem. Soc. – 1979. - Vol 101.- P.7463.

4. Vidal C., Pacault A. Non-Linear Phenomena in Chemical Dinamics.- Springer. - Berlin. - 1981.

5. Aronson D.G. Density-Dependent Interaction-Diffusion Systems, in Dynamics and Modelling of Reactrive Systems//Publ. Math. Res. Cent. Univ. Wis.Madison. – 1980. – Vol. 44. – P. 161.

6. Мусабекова Л.М., Абдураимова Б.К., Оспанова А.О. Ефремов Г.И. Особенности моделирования режимов работы реакторов при неполной информации о процессе // Труды международной научно-практической конференции «Наука и образование на современном этапе.». Южно-Казахстанский Гуманитарный институт им. М. Сапарбаева. Шымкент. 2005.-Т1, с.119-124.