Бондаренко Л. Н., Матвиец Т. В., Бондаренко В. Д., Ильенко К.И.

 

Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры

 

Соотношения между работами сил трения качения и скольжения в парадоксе Герона

 

Постановка проблемы.

Известно [1] доказательство Герона «парадокса Аристотеля», заключающееся в исследовании движения меньших и больших кругов, находящихся на одном валу.

Рассуждения Герона сводятся к следующему. Если круги насажены на одной оси жёстко, то большие движутся быстрее, чем меньшие. Если же круги насажены не жёстко, то меньшие круги движутся быстрее чем большие, так как их продвижение вперёд одно и то же. Так как при этом меньший круг должен сделать большее число оборотов, пока большой  делает один, то по этой причине меньший круг будет находиться в более быстром движении.

Дальнейшие рассуждения Герона ещё более непонятны, поскольку он не представлял различий между угловой и линейной скоростями.

Схема к задаче Герона показана на рис. 1. Формулируется задача так. Два круга прикреплены к одному и тому же центру А и линия является касательной к большому кругу.

C:\Users\Юля\Desktop\сканирование0001.gif

Рисунок 1 Схема к задаче Герона

Если представить, что больший круг катится, а меньший сидит на точке С неподвижно, то он так же опишет линию  и в то же самое время; тогда и центр А опишет линию , равную  и . Таким образом, продвижение вперёд не будет представлять развёртывания малого круга, ибо видно, что центр А и без качения пройдет то же самое расстояние, благодаря движению, в котором находится большой круг.

Исходя из современных представлений о вращательном и поступательном движении,  Герон пытался найти путь скольжения большого круга при повороте меньшего на один оборот.

Цель исследований заключается в установлении соотношений между сопротивлениями трению качения и скольжения в задаче Герона.

Материал исследования

Обозначим радиус меньшего круга (цилиндра) через r, а большего через R. Если нагрузка на цилиндры одинаковая и составляет Р, а ширины цилиндров в и В, то радиус меньшего цилиндра из теории контактных напряжений Герца [2]

,                                                         (1)

где Е-модули упругости материалов цилиндра и направляющей; - допускаемые контактные напряжения.

Если коэффициенты Пуассона материалов различные () и различные модули упругости (Е1≠Е2), то

.                                                     (2)

Полуширины пятен контакта

                                                          (3)

                                                          (4)

Коэффициенты трения качения большего и меньшего цилиндров найдем, воспользовавшись аналитическими зависимостями, полученными в [3]

,                                                      (5)

,                                                      (6)

где   и  в метрах.

При заданных величинах P,E,b и σ находится радиус меньшего цилиндра, а величина большего может быть задана. При найденных величинах  находится сопротивление качению, а если известна величина коэффициента трения скольжения, то и величина сопротивления скольжению большего цилиндра.

При, например, σ=400МПа,  МПа, мм, Р=50кН, мм и приняв мм, получим по (3) и (4) мм, мм. Величина коэффициентов трения качения по (5) и (6)мм и мм (отметим, что без учета экспоненты – коэффициентов гистерезисных потерь эти величины соответственно равны 0,594 и 1,265 мм).

Сопротивления качению меньшего и большего цилиндров , .

Работа сил трения качения за один оборот меньшего цилиндра составит , а большого .

Работа сил трения скольжения при f=0,2 составит .

Общая работа сил сопротивления при обороте цилиндра меньшего диаметра на один оборот  при работе сил сопротивления качению , что составляет около 2% от .

Анализ доказательства Герона и полученных результатов позволяет сделать такие выводы:

·       предложенная методика позволяет в задаче Герона аналитически разделить силы сопротивления, приходящиеся на качение и скольжение;

·       при реальных коэффициентах трения скольжения сопротивление скольжению является преобладающим даже при малой разнице в диаметрах цилиндров.

ЛИТЕРАТУРА

1.     Веселовский И.Н. Очерки по истории теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1974. – 287с.

2.     Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г.С., Яковлев А. П., Матвеев В.В.- Киев: Наук. думка, 1988. – 73с.

3.     Бондаренко Л.М. Аналітичні залежності для визначення коефіцієнта тертя кочення для найбільш вживаних схем дотику / Техніка будівництва. - №11. – 2002. –с.32-35.