УДК 622.243.57

М.Т. Аубакиров, Р.С. Абдразаков, А.Ж. Тлеуберген

Казахский национальный исследовательский технический университет имени К.И.Сатпаева

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА В СЕКТОРЕ АЛМАЗНОЙ КОРОНКИ

Аннотация: Рассмотрен процесс теплопередачи в секторе алмазной коронки. Получено уравнение теплового баланса, в котором все члены уравнения имеют зависимость от формы сектора. Градиент температуры снижается интенсивно вверх по рабочей зоне коронки. Максимальное значение температуры находится на фиксированном расстоянии.

Ключевые слова: Алмазные коронки, сектор, тепловой баланс.

Широко распространенным видом разрушения твердых горных пород является бурение алмазными коронками. Эффективность работы алмазной коронки в скважине определяется её конструктивными параметрами и физико - механическими процессами на забое и в матрице коронки. Работа алмазной коронки на забое сопровождается тепловыделением, которое оказывает влияние на технико – экономические показатели алмазного бурения. Знание законов теплораспределения по алмазу и сектору коронки, температурного поля в секторе позволит не только выявить рациональную технологию бурения, но и определить оптимальную конструктивную форму породаразрушающего элемента. Рассмотрения этих вопросов опирается[1,2,3].

Рассмотрим стационарный процесс теплопередачи в сектора алмазной коронки(рис.1).

В сектор (1), ограниченный боковыми поверхностями образующими угол φ, и цилиндрическими окружностями =2 , =2 , причем > , высотой L, поступает тепловой поток Q.

Сектор ожидает тепло в среду с постоянной температурой , коэффициент теплоотдачи от сектора к среде будем считать постоянным. Плоскости теплоотдачи – боковые поверхности сектора. (Цилиндрические поверхности, вследствии работы подрезных алмазов будем считать теплоизолированными, то есть тепловой поток поступающий через цилиндрические поверхности в сектор, равен выходящему из него в окружающую среду).

Коэффициент теплопроводности материала сектора .

Сектор находится в контакте с полуограниченным телом(2), (телом коронки) с другими теплофизическими коэффициентами имеющими индексацию 2, то есть ; .

Полуограниченное тело отдает тепло и в окружающую среду с цилиндрических поверхностей и .

В дальнейшем отсчет температуры будет вестись от = const. Избыточная температура обозначится через θ, тогда:

θ = t - (1)

где температура среды;

t – текущая температура сектора и тела коронки.

На торце сектора избыточная температура будет:

θ = - (2)

где температура торца сектора.

Рис.1 Схема теплопередачи в секторе алмазной коронки.1-сектор; 2-тело коронки.

Рис.2 К расчету теплового баланса

На расстоянии 𝐳 (рис.2) от торца выделяется элемент сектора длиной . Уравнение теплового баланса для рассматриваемого элемента можно записать в виде:

- + = dQ (3)

где - количество тепла входящего в нижнюю грань элемента за единицу времени;

+ - количество тепла выходящего с верхней грани элемента за то же время;

dQ – количество теплоты, отдаваемого элементом за единицу времени теплоотдающей поверхность в окружающую среду.

dQ = + (4)

Согласно закону Фурье:

= - (5)

+ d𝐳 = - (6)

где - площадь теплопередачи в секторе.

+ d𝐳 = - - (7)

тогда: - + = (8)

По закону Ньютона - Рихмана

dQ = ud𝐳 (9)

где α – коэффициент теплоотдачи сектора в окружающую среду;

ud𝐳 – площадь теплоотдачи.

Приравнивая (8) и (9) имеем изменение температуры в секторе:

= = (10)

где m, .

= + (11)

где U – длина теплоотдающей поверхности.

Из выражения видно, что для сектора форма и размеры которого определены, при постоянном значении α по всей теплоотдающей поверхности и постоянство 𝞴 в рассматриваемом интервале температур m = const

Общий интеграл для уравнения (10) будет иметь вид:

= + (12)

Аналогично, для тела коронки общий интеграл имеет вид:

= + (13)

где = + (14)

- соответственно, коэффициенты теплоотдачи и теплопроводности, длина плоскости теплоотдачи, величина плоскости теплопередачи для тела коронки.

Значения постоянных C определяются из следующих граничных условий.

при 𝐳 = 0 = (15)

при 𝐳 = e = (16)

= (17)

при 𝐳 →∞ = 0 (18)

Постановка граничных условий (15) – (18) в уравнения (12), (13) дают:

При 𝐳 = 0 = + (19)

отсюда = + (20)

= ( - ) + (21)

или произведя упрощения:

= ( + ) - (22)

при 𝐳 →∞ c = 0 (23)

что возможно только при условий = 0.

Таким образом: = (24)

При 𝐳 = e ( - ) - (25)

Продифференцировав по 𝐳 выражения (21) и (24)

= ( - ) - (26)

= - (27)

при 𝐳 = e ( - ) - = - (28)

решив систему уравнений (26) и (28) определяем коэффициенты и :

= (29)

= - (30)

откуда: =[ - ] + (31)

= □ - + (32)

где - безразмерная температура, выраженная в долях температуры , начального сечения сектора. Произведя преобразование и упрощения получаем окончательно уравнение теплового потока в секторе:

= exp - (33)

Выводы:

1.Уравнение теплового баланса в простейшем виде можно представить как = exp - Ash , где все члены уравнения имеют зависимость от формы сектора ( );

2.Максимальное значение безразмерной температуры находится на фиксированном расстоянии 𝐳 = ;

3.С ростом значения 𝐳 эквитемпературные линии разрежаются, что говорит о снижении градиента температур.

ЛИТЕРАТУРА

1. Научно – исследовательский отчет «Исследование, разработка и совершенствование технологии и технических средств бурения синтетическими алмазами (СА) и сверхтвердыми материалами (СТМ) на месторождениях центрального Казахстана», КазПТИ имени В. И. Ленина 1987г

Сведения об авторах

1) Аубакиров Марат Тлеубаевич. Профессор, к.т.н. Номер мобильного телефона +77017172471, почтовый адрес marat.aubakirov@gmail.com.

2) Абдразаков Р.С. научный сотрудник.

3) Тлеуберген Айбек Жанибекулы. Магистрант КазНИТУ имени К.И.Сатпаева. Номер мобильного телефона +77754191909, почтовый адрес aibek_mn@mail.ru.