УДК 622.243.57

 

М.Т. Аубакиров, Р.С. Абдразаков, А.Ж. Тлеуберген

 

Казахский национальный исследовательский технический университет имени К.И.Сатпаева

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА В СЕКТОРЕ АЛМАЗНОЙ КОРОНКИ

Аннотация: Рассмотрен процесс теплопередачи в секторе алмазной коронки. Получено уравнение теплового баланса, в котором все члены уравнения имеют зависимость от формы сектора. Градиент температуры снижается интенсивно вверх по рабочей зоне коронки. Максимальное значение температуры находится на фиксированном расстоянии.

Ключевые слова: Алмазные коронки, сектор, тепловой баланс.

        Широко распространенным видом разрушения твердых горных пород является бурение алмазными коронками. Эффективность работы алмазной коронки  в скважине определяется её конструктивными параметрами и физико - механическими процессами на забое и в матрице коронки. Работа алмазной коронки на забое сопровождается тепловыделением, которое оказывает влияние на технико – экономические показатели алмазного бурения. Знание законов теплораспределения по алмазу и сектору коронки, температурного поля в секторе позволит не только выявить рациональную технологию бурения, но и определить оптимальную конструктивную форму породаразрушающего элемента. Рассмотрения этих вопросов опирается[1,2,3].

      Рассмотрим стационарный процесс теплопередачи в сектора алмазной коронки(рис.1).

      В сектор (1), ограниченный боковыми поверхностями образующими угол φ, и цилиндрическими окружностями =2 , =2 , причем > , высотой L, поступает тепловой поток Q.

     Сектор ожидает тепло в среду с постоянной температурой  , коэффициент теплоотдачи от сектора к среде будем считать постоянным. Плоскости теплоотдачи – боковые поверхности сектора. (Цилиндрические поверхности, вследствии работы подрезных алмазов будем считать теплоизолированными, то есть тепловой поток поступающий через цилиндрические поверхности в сектор, равен выходящему из него в окружающую среду).

           Коэффициент теплопроводности материала сектора .

          Сектор находится в контакте с полуограниченным телом(2), (телом коронки) с другими теплофизическими коэффициентами имеющими индексацию 2, то есть ; .

          Полуограниченное тело отдает тепло  и  в окружающую среду с цилиндрических поверхностей  и .

         В дальнейшем отсчет температуры будет вестись от   = const. Избыточная температура обозначится через θ, тогда:

                                                   θ = t -                                                    (1)

где  температура среды;

             t – текущая температура сектора и тела коронки.

         На торце сектора избыточная температура будет:

                                                   θ =  -                                                  (2)

где  температура торца сектора.

Рис.1 Схема теплопередачи в секторе алмазной коронки.1-сектор; 2-тело коронки.

Рис.2 К расчету теплового баланса

 

     На расстоянии 𝐳 (рис.2) от торца выделяется элемент сектора длиной . Уравнение теплового баланса для рассматриваемого элемента можно записать в виде:

                                                -  +  = dQ                                          (3)

где  - количество тепла входящего в нижнюю грань  элемента за единицу времени;

       +  - количество тепла выходящего с верхней грани элемента за то же время;

     dQ – количество теплоты, отдаваемого элементом за единицу времени теплоотдающей поверхность в окружающую среду.

                                               dQ =  +                                             (4)

     Согласно закону Фурье:

                                                   = -                                               (5)   

                                    + d𝐳 = -                                  (6)

где  - площадь теплопередачи в секторе.

                                   + d𝐳 = -  -                                  (7)

     тогда:                          -  +  =                                      (8)

     По закону Ньютона - Рихмана

                                                dQ = ud𝐳                                              (9)

где α – коэффициент теплоотдачи сектора в окружающую среду;

ud𝐳 – площадь теплоотдачи.

     Приравнивая (8) и (9) имеем изменение температуры в секторе:

                                             =  =                                        (10)

где m,  .

                                                   = +                                             (11)

где Uдлина теплоотдающей поверхности.

     Из выражения видно, что для сектора форма и размеры которого определены, при постоянном значении α по всей теплоотдающей поверхности и постоянство 𝞴 в рассматриваемом интервале температур m = const

     Общий интеграл для уравнения (10) будет иметь вид:

                                                   =  +                                (12)

     Аналогично, для тела коронки общий интеграл имеет вид:

                                                  =  +                                (13)

где                                            = +                                                (14)

  - соответственно, коэффициенты теплоотдачи и теплопроводности, длина плоскости теплоотдачи, величина плоскости теплопередачи для тела коронки.

     Значения постоянных C определяются из следующих граничных условий.

при  𝐳 = 0                                =                                                          (15)

при  𝐳 = e                              =                                                          (16)

                                                =                                                (17)

при  𝐳 →∞                             = 0                                                          (18)

Постановка граничных условий (15) – (18) в уравнения (12), (13) дают:

При  𝐳 = 0                             =  +                                                     (19)

отсюда                                  =  +                                                     (20)

                                              = (  - )  +                             (21)

или произведя упрощения:            

                                              = (  + ) -                         (22)

при  𝐳 →∞                         c  = 0                                                            (23)

что возможно только при условий  = 0.

Таким образом:                  =                                                     (24)

При 𝐳 = e                           (  - ) -                                     (25)

Продифференцировав по 𝐳 выражения (21) и (24)

                                  = (  - ) -                      (26)

                    = -                                         (27)

при 𝐳 = e               (  - )  -   = -      (28)

решив систему уравнений (26) и (28) определяем коэффициенты  и :

                                            =                                      (29)

                                            = -                                 (30)   

откуда:     =[ - ]  +          (31)   

                 = □ -  +            (32)

где  - безразмерная температура, выраженная в долях температуры , начального сечения сектора. Произведя преобразование и упрощения получаем окончательно уравнение теплового потока в секторе:

                                 = exp  -                          (33)  

Выводы:

1.Уравнение теплового баланса в простейшем виде можно представить как  = exp  - Ash , где все члены уравнения имеют зависимость от формы сектора ( );

2.Максимальное значение безразмерной температуры  находится на фиксированном расстоянии 𝐳 = ;

3.С ростом значения  𝐳 эквитемпературные линии разрежаются, что говорит о снижении градиента температур. 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1.   Научно – исследовательский отчет «Исследование, разработка и совершенствование технологии и технических средств бурения синтетическими алмазами (СА) и сверхтвердыми материалами (СТМ) на месторождениях центрального Казахстана», КазПТИ имени В. И. Ленина 1987г

 

          

Сведения об авторах

1) Аубакиров Марат Тлеубаевич. Профессор, к.т.н. Номер мобильного телефона +77017172471, почтовый адрес marat.aubakirov@gmail.com.

2) Абдразаков Р.С. научный сотрудник.

3) Тлеуберген Айбек Жанибекулы. Магистрант КазНИТУ имени К.И.Сатпаева. Номер мобильного телефона +77754191909, почтовый адрес aibek_mn@mail.ru.