Математика/5. Математическое моделирование

К.т.н., доцент Кабулова Е.Г.

Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) «Национального исследовательского технологического университета «Московский институт стали и сплавов», Россия

Многослойное моделирование в условиях неопределенности

В настоящее время для формирования сложных понятий обычно применяются вероятностные и нечеткие методы. Наиболее качественной альтернативой вероятностных методов является формирование совокупности нечетких продукционных правил [1,2], что позволяет производить распознавание нечетких ситуаций и получить результат в виде нечеткого множества. [5,6]

Рассмотрим применение теории нечетких множеств при принятии решений при наличии дифференцированного описания предметной области и многоуровневой иерархической системы моделей [1]. Пусть на каждом уровне i описания предметной области имеется свой набор входных и выходных переменных . Каждый уровень характеризуется только одной моделью . Каждому параметру на вышестоящем уровне соответствует определенный набор параметров нижестоящего уровня:

(1)

Таким образом, при принятии решений в сложной иерархической системе моделей основной целью является нахождение на каждом уровне обобщения i вектора решений и соответствующего вектора входных параметров , согласованных в смысле соотношений (1). Причем процесс принятия решений осуществляется дискретно в моменты времени и в общем случае, шаг дискретизации возрастает от нижних уровней к верхним.

Допустим, что решения на всех уровнях в процессе координации решений является нечеткими и задаются соответствующими функциями принадлежности.

Исходные данные должны быть согласованы с априорными сведениями проводимыми в системе измерениями и в смысле соотношений (1) . Тогда нечеткое подмножество C = будем называть согласованным нечетким множеством исходных данных. Для первого уровня согласованное нечеткое множество исходных данных характеризуется функцией принадлежности .

Допустимость решений по моделям задается нечетким множеством с функцией принадлежности , измерения характеризуются с функцией принадлежности и скоординированность - с функцией принадлежности . Результирующее влияние нечеткого множества М, нечеткого ограничения Z и нечеткой координации К на выбор решения может быть представлено пересечением . Тогда:

Функция принадлежности для 1-го уровня:

Для принятия решения по выходному параметру j уровня (i+1) система должна предварительно свернуть решения нижележащего уровня в системное решение Тогда (2) можно записать в виде

Системное решение характеризует согласно (2) межуровневую координацию К, поскольку определяется связями (1). Тогда функцию принадлежности для можно записать как:

(3)

Таким образом, нечеткое согласованное решение для выходного параметра j уровня (і+l) характеризуется функцией принадлежности

(4)

Вследствие инвариантности введенного описания по уровням системы из (2) следует, что соотношение (4) справедливо для всех уровней описания, кроме первого, для которого (5)

В связи с тем, что в иерархической структуре решение на і-м уровне обобщения зависит только от состояния на этом уровне и решений, принимаемых на вышестоящим (і+1)-м и нижестоящим (і-1)-м уровнями, в решении учитываются все решения нижестоящих подсистем согласно выражению (3).

Анализируя (3), можно сделать вывод, что при прочих равных условиях решение по параметру j уровня (і+1) будет наиболее предпочтительным в случае, когда по каждому параметру уровня і будут приниматься оптимальные решения и при определении решений нижестоящего уровня мы будем стремиться максимизировать отображение этих решений на оси y_(i+1)j.

Это дает возможность характеризовать оптимальную стратегию подобно принципу оптимальности Р.Беллмана [4], на основе которого можно построить рекуррентную процедуру принятия решений, которая будет состоять из нескольких этапов:

1) На первом этапе идет согласование исходных данных. Для каждого следующего уровня находится нечеткое множество скоординированных значений параметра j, определяемое согласованными исходными данными нижестоящего уровня. Затем уже находятся нечеткие согласованные значения параметров .

2) На втором этапе определяются нечеткие решения по моделям каждого
уровня.

3) На третьем этапе происходит согласование полученных решений по
моделям на разных уровнях описания. Для первого уровня согласованные
нечеткие решения получают в соответствии с (5). Для каждого следующего уровня находится нечеткое множество скоординированных решений, определяемое найденными нечеткими решениями нижестоящего уровня (3). Затем уже находятся нечеткие согласованные решения в соответствии с (4).

4) После того, как получено согласованное нечеткое решение на
уровне N, можно скорректировать нечеткие решения на каждом уровне
описания.

После принятия четкого решения на уровне N находятся четкие решения уровня (N-l) Далее эта процедура повторяется до тех пор, пока не будут четко приняты все решения на каждом уровне описания.

5) Если после принятия всех решений требуется скорректировать нечеткие множества исходных данных или найти наиболее приемлемые точечные значения, то это производится также по процедуре

Описанная таким образом на языке теории нечетких множеств иерархическая система моделей является полностью заданной, так как определена структура системы и уровни иерархии, выявлены предпочтения для каждой модели путем задания соответствующих функций принадлежности, система уравнений и ограничений, описывающих связи в многоуровневой системе моделей [3].

Таким образом, данный метод направлен не на согласование решений, принимаемых для одной и той же модели в последовательные моменты, а для согласования решений по уровням в многоуровневой иерархической системе моделей в определенный момент t, причем для каждого, в том числе и нижнего уровня, может быть решена и динамическая задача [6] .

В теории иерархических систем существует процесс координации, производимый до принятия решения нижестоящими элементами или после принятия решения (коррекция). Предлагаемый метод координации согласует решения в процессе их принятия. Вышестоящий и нижестоящий элементы связаны между собой двумя видами взаимодействий. Сигнал, посылаемый наверх, несет вышестоящему элементу информацию о допустимости и предпочтительности значений выходных параметров нижестоящего уровня (нечеткое решение), а сигнал, идущий сверху вниз, конкретизирует выбор, подлежащий выполнению на нижестоящем уровне. Информация о нижестоящих элементах, необходимая вышестоящему элементу для принятия решения, зависит от моделей нижестоящих уровней обобщения и связей между элементами.

Литература:

1. Благовещенская М.М., Злобин Л.А. Информационные технологии систем управления технологическими процессами. - М.: Высш. школа, 2005, 265 с.

2. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М: Мир, 1976, 165с.

3. Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. Моделирование систем. Динамические и гибридные системы. - СПб.: BHV-Санкт-Петербург. - 432 с.

4. Моделирование сложных систем. Бусленко Н.П.- Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука». М.: 1968, 356 стр.

5. Морозов С.А., Манжула В.Г., Федосеев СВ. Принципы построения математических моделей сложных систем в условиях неопределенности // Фундаментальные исследования. – 2009. – № 4 – С. 74-75

6. Островерх. А.И., Сычев В.Н., Козлова О.В. Организационно-технические аспекты построения ИИ пространства производственной системы // Информационное технологии в проектировании и производстве.-2005, №3, с.77-89.