Потапова Н.А., Барилко І.В.

Вінницький національний аграрний університет

Математичне моделювання макроекономічних систем зі змінною структурою

Постановка проблеми. Математичне моделювання в економіці має широке прикладне значення і є одним із основних інструментів, що використовуються при аналізі економічних зв'язків, прогнозуванні, керуванні економічними об’єктами. Одним із основних його завдань є аналіз статистичних даних і наступне визначення структури та параметрів системи за спостереженнями з метою імітації, прогнозування або оптимізації майбутніх станів системи.

Економічні процеси, як і будь-які інші (механічні, фізичні, біологічні) описуються системою диференціальних рівнянь:

х (τ) = f х (τ), u (τ) ׀ Ө1), х (τ0) = х0, τ Є (τ0 τ1) (1)

Тут вектор-стовпець х(τ) = (x1(τ), x2(τ), … , xm(τ))΄ характеризує фазовий стан, а вектор – стовпець керувань u(τ) = (u1(τ), u2(τ), … , um(τ))΄– вхід динамічної системи; θ1 – вектор сталих коефіцієнтів, заздалегідь невідомих [3].

Ключовою проблемою моделювання динамічної системи є ідентифікація та її практична ефективність. Економічні системи є слабоформалізованими і тому потребують повної або часткової специфікації взаємозв’язків між входами, станами і виходами, а невідомі параметри моделі повинні оцінюватись методами економетрики [1].

Мета дослідження. Метою статті є розкриття інформації щодо математичного моделювання макроекономічних систем зі змінною структурою.

Виклад основного матеріалу. Сьогодні досить поширеним є аналіз економічних процесів на основі моделей економічної динаміки з декількома ресурсами – так званих моделей економічного зростання (моделі Леонтьєва, Солоу, Рамсея тощо). Типові моделі використовуються для дослідження як економіки країни в цілому, так і окремої галузі або регіону, оскільки наявність великої кількості складових елементів дозволяє моделювати стійкий розвиток таких систем і розглядати їх як сукупність однорідних об’єктів з точки зору прогнозування.

Моделі економічного зростання описуються лінійними диференціальними рівняннями зі сталими коефіцієнтами. Економічні моделі, які їм відповідають, містять сталі невідомі параметри на деякій множині даних і тому часто називаються економічними моделями зі сталою структурою [3].

Макроекономічні процеси є циклічними, тобто фази підйому змінюються фазами спаду, а після цього знову спостерігається зростання. На лаштування на новий режим роботи, зазвичай, супроводжується зміною параметрів функціонування. Економетричні моделі, в яких оцінюються змінні значення коефіцієнтів, називаються моделями зі змінною структурою.

Зміна взаємозв’язків між складовими реального економічного процесу може бути обумовлена законом переходу кількості в якість, коли, наприклад, зі зростанням масштабів явищ модифікуються взаємозв’язки між ними. У такій ситуації модель зі сталою структурою, побудована на основі всього періоду [τ0, τk] (τk < τf), може виявитися недостатньо точною і мало прийнятною для встановлення закономірностей досліджуваного процесу. Вона, у кращому разі, відобразить деякі усереднені за весь проміжок часу [τ0, τk] характеристики даного процесу, які, швидше за все, не будуть відповідати його закономірностям на останній стадії. Внаслідок цього використання моделей зі сталою структурою при розв’язанні прогнозних задач призводить до суттєвих похибок, яких можна було б уникнути, виходячи з моделі зі змінною структурою [3].

Саме тому, актуальною є побудова сильно агрегованої моделі макроекономічної динаміки зі змінними параметрами. Фазовими координатами тут виступають лише основні показники економічного розвитку: кінцевий продукт, основні виробничі фонди, інвестиційні ресурси. Економіко-математичний аналіз на основі розрахунків за сильно агрегованою моделлю зі змінними параметрами дає якісну та кількісну характеристики залежностей між основними економічними показниками і є першим етапом складання оптимального перспективного плану.

При моделюванні макроекономічної системи виявити всі можливі зв’язки між її елементами практично неможливо. Тут закон руху (1) не може адекватно описувати динамічний процес, оскільки завжди будуть наявні невраховані фактори. Циклічність реального процесу вносить у поведінку системи комплексний нелінійний характер, що викликає необхідність залучення складних диференціальних залежностей в закон руху. У подібних ситуаціях доцільно використати допоміжну інформацію стосовно величин, які не наявні у рівняннях руху (1), але є невід’ємною частиною даної динамічної системи [1].

Допоміжною інформацією макроекономічної динаміки може бути потенціал Y даної системи – емпірична неперервна функція, взаємозв’язана з рівнянням руху (1). У загальному випадку вона подається у вигляді:

Y (τ) = G (x(τ), u(τ) ׀ Ө2), τ Є [τ0 τf] (2)

Як потенціал Y макроекономічної системи вибирають, як правило, валовий внутрішній продукт (ВВП) або величини, зв’язані з ним, наприклад, прибуток. ВВП і прибуток є основними показниками макроекономічних процесів. В свою чергу, виділяють наступні суттєві фактори впливу на ВВП: основні фонди, кінцеве споживання, матеріальні витрати, кількість працюючих, валовий експорт. З економічної точки зору важливою є також статистична інформація у вигляді рядків динаміки для ВВП, прибутку і основних факторів, що характеризують дану макроекономічну систему, і є доступною та може бути використаною при математичному моделюванні.

Позначимо {хτ}, {Yτ} множину даних спостережень за динамікою траєкторій {х(τ)}, {Y(τ)} в N цілочислових точках проміжку часу [τ0, τk], який будемо називати періодом ідентифікації. Проміжок часу (τk, τf] тут є періодом прогнозування. При цьому припускаємо, що τf – τk << N. Тоді якщо побудована модель є стаціонарною, то вектор параметрів, на які модель буде налаштована на останній стадії періоду ідентифікації, можна переносити через інерційність динамічної системи на період прогнозування [2].

Розглянемо, наприклад, трициклову зміну ВВП макроекономічної системи на проміжку часу [τ0, τk] (останній третій цикл може бути незавершений). Припускаємо, що граничними точками є точки τ2, τ4 (рис. 1), в яких спостерігаються локальні мінімуми статистичних даних.

Рис. 1. Діаграма розсіювання ВВП і відповідна сплайн-функція Y(τ) [3]

У точках τ1, τ3 циклів (τ0, τ2) і (τ2, τ4) мають місце локальні максимуми статистичних даних. Тому в даному випадку критичними точками (вузлами) є точки τ1, τ2 , τ3, τ4 . В них відбувається характерна зміна траєкторії Y(τ): зростання ВВП переходить у його спад (вузли τ1, τ3), який знову змінюється на підйом (вузли τ2, τ4). У граничних точках циклів повинна бути виконана умова неперервності Y(τ) шляхом зшивання відповідних економетричних моделей. Таку послідовність лінійних економетричних моделей називають сплайн-функцією [3].

Характер зміни ВВП визначається відповідною зміною основних факторів, які впливають на ВВП. Виявляється, що завжди існують такі фактори, статистичні дані яких на періоді ідентифікації [τ0, τk] можна також розбити на аналогічні цикли. Причому вузли τ1, τ2, …, τk-1, які відповідають локальним максимумам і локальним мінімумам, збігаються для ВВП і основних факторів (основні фонди, кінцеве споживання, валовий експорт тощо). Це дозволяє не включати вектор керувань u(τ) у число пояснювальних змінних моделі (1), (2) і розглядати цю модель як модель з релейними керуваннями, які набирають значення ±1 [3].

При числовій реалізації динамічних моделей, метою яких є прогнозування, граничні умови диференціальних рівнянь (1) зручно задовольняти в момент часу τ*, що слідує за періодом ідентифікації. Тому припустимо, що τ* = τ k + 1 і, зробивши заміну t = τ - τ*, визначення моделі будемо проводити на проміжку часу [–N, –1], а прогнозування – на проміжку [ 0, tf ], tf = tf – t.

Висновки. Побудова моделі зі змінною структурою розглядається як один із напрямків удосконалення моделі зі сталою структурою, який дозволяє забезпечити більш точну інформацію щодо статистичних даних для змістовного обґрунтування закономірностей реального процесу. Тому на першому етапі будується модель зі сталою структурою, вивчаються її властивості, встановлюється необхідність подальшої модифікації. Така перевірка може бути здійснена за допомогою спеціальних тестів, спрямованих на виявлення закономірностей у змінних оцінках невідомих параметрів моделі.

Література:

1. Ейсмонт В.С. Адекватність деяких економічних концепцій специфіці макроекономічної системи України / В.С. Ейсмонт // Наукові праці МАУП. – 2011. – вип. 4 (31). – С. 125-130.

2. Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование. – Моделирование макроэкономических процессов и систем / В.А. Колемаев. – М. : Юнити, 2005. – 295 с.

3. Назаренко О.М., Поляков П.Ю. Математичне моделювання макроекономічних систем зі змінною структурою / О.М. Назаренко, П.Ю. Поляков // Механізм регулювання економіки. – 2011. - № 1. – С. 155-163.