Технические науки/ 11. Робототехника

Великанов Д.В.

Самарский Государственный Технический Университет, Россия

Погрешность расчета траектории планирующего зонда при разложении тангенса в ряд

         Промышленное применение подводных исследовательских аппаратов неуклонно возрастает с каждым годом. Причина такого явления кроется в возможности снижении финансовых и временных затрат на проведение геологоразведочных работ и инспекцию подводных сооружений и коммуникаций за счет уменьшения числа обслуживающего персонала  и сокращение флота исследовательских судов.

         Такие объекты, как трубопроводы и кабели связи имеют большую глубину залегания и относятся к распределенным объектам, что существенно усложняет операции по их контролю. Для этого целесообразно использовать планирующие зонды (ПЗ), которые несут в себе необходимую измерительную аппаратуру.

         Основное преимущество планирующих зондов состоит в их высокой степени автономности, т.е. возможности длительного времени функционирования без участия человека. Достигается это за счет замены движительной установки, на систему управления изменением  плавучести, крена и дифферента [1].

В процессе измерения зондом параметров водной среды, которые производятся периодически, каждый раз необходимо с высокой точностью определять координаты точек, в которых проводятся измерения. Для этой цели необходимо разработать математические модели, отражающих зависимость скорости и направления движения зонда  от управляющих воздействий, что позволяет определять текущие географические координаты зонда.

         При разработке модели движения ПЗ воспользуемся выражением, приведенным в [1]:

,                                     (1)

где , , ,  - гидродинамические коэффициенты планирующего зонда, которые определяются экспериментальным путем для каждой конструкции зонда,

 – угол  атаки,

 - угол наклона траектории.

            На рис. 1 показаны гидродинамические силы лобового сопротивления силы D и подъемная сила L, действующие на зонд в вертикальной продольной плоскости, углы атаки , наклона траектории  и дифферента  и υ – скорость ПЗ.

Рис. 1 Планирующий зонд в вертикальной продольной плоскости

На рис. 2 приведен график зависимости функции .

При построения графика здесь и далее использованы  гидродинамические коэффициенты аппарата, разработанного на кафедре Информационно-измерительная техника Самарского Государственного Технического Университета. Зонд имеет сигарообразную форму длиной 1,8м,  диаметром 0,31м, с двумя симметричными крыльями размахом 1,05м и хвостовым стабилизатором.

Рис. 2 График зависимости угла атаки от угла наклона траектории ПЗ.

Анализ кривых, приведенных на рис. 2, позволяет сделать вывод о том, что графики функции (1) симметричен относительно начала координат. В первом квадранте располагается график зависимости угла атаки от угла наклона траектории при всплытии, тогда как в третьем квадранте показан аналогичный график, отражающий зависимость при погружении.

Для аппарата, который симметричен относительно плоскости расположения  крыльев  решение (1) возможно только при выполнении условий:

   (2)

Анализ соотношений (2) показал, что на начальном участке при не нулевом угле дифферента и отличной от нуля плавучести ПЗ будет иметь некоторый минимальный угол наклона траектории , обусловленный критическим углом атаки, увеличение которого приводит к срыву набегающего потока и крыло теряет свою подъемную силу.

Для вычисления угла  с помощью выражения (1) необходимо задать угол наклона траектории, который задается через угол дифферента путем смещения центра тяжести ПЗ относительно продольной оси.  Необходимо напрямую связать угол атаки и дифферента, так всем и входными параметрами модели (дифферент, крен, плавучесть) можно будет управлять напрямую.

С этой целью используем соотношение описывающее движение  ПЗ по горизонтальной оси, приведенное в [1]:

                                       (3)

Угол наклона траектории, угол атаки и дифферент связаны между собой выражением:

,                                                             (4)

 

Подставляя в (3) выражение (4) получим:

                            (5)

Используя выражения для гидродинамических сил D и L, приведенных в  [2] и подставляя их в выражение (5) окончательно получим:

                                             (6)

         Как видно, из последнего выражения, угол атаки содержится как под знаком тангенса, так и за его пределами. Решение данного соотношения возможно только при разложении тангенса в ряд, например, ряд Тейлора:

     (7)

,

где B2n — Числа Бернулли.

         В общем случае число членов ряда не ограничено и  С точки зрения нагрузки на бортовой компьютер, а также сокращении времени расчета траектории, целесообразно ограничиться минимально возможным числом членов. Однако это непременно вызовет увеличение методической погрешности, которая обратно пропорциональна числу членов n. Для определения рационального числа членов ряда n, с точки зрения заданной погрешности, сравним три различных уравнения на основе (6) заменив при этом тангенс в первом случае на первый член ряда (7) (n=1), во втором на первые два члена (n=2), в третьем на первые пять членов ряда (n=5):

 Для упрощения соотношения (6), введем следующие замены:

                                            (8)

Тогда выражение (7) можно будет представить в виде для n=1:

                 (9)

, для  n=2:           

 (10)

, для  n=5:

.  (11)

Общий вид кривых (9-11) аналогичен рис. 2 с поправкой на то, что по оси абсцисс отложены значения дифферента, а не угла наклона траектории. Расхождение заметно только на отрезке [-6:6] градусов дифферента. На рис. 3 его можно видеть между функциями (9), показана синим цветом, (10), показана красным цветом, и (11), показана зеленым цветом (совпадает в с красным графиком).

Рис. 3 График зависимости угла атаки от дифферента в районе нуля.

Приведенные графики имеют максимальные и  минимальные значения угла атаки не при нулевом дифференте, а ближе к 1,7°. Это, вызвано разложением тангенса в ряд, на что указывает характер функций (9-11) (при исследовании указанных функций других нулей в окрестностях нуля функций не обнаружено). Это существенно увеличивает погрешность в области от 0° до 2° дифферента. Чтобы её скорректировать, применим простейший алгоритм, основанный на том, что исходная функция (1) симметрична относительная  нуля. При не совпадении знаков угла атаки и угла дифферента угол атаки находится для противоположного по знаку угла дифферента, после чего  результат умножается на минус единицу.  Результат работы алгоритма – симметричность всех функций относительно начала координат.

Чтобы оценить погрешность, которую вносит разложение тангенса в ряд на расчет траектории движения, рассчитаем четыре траектории.  Первая траектория рассчитывается с применением выражения и (1) и не содержит методической погрешности, вторая, третья и четвертая рассчитывается с применением уравнения (9-11). Все траектории рассчитываются с помощью математической модели построенной по принципу квазистационарных состояний [1].

Для расчета траектории смоделируем ситуацию, в которой планирующий зон заглубляется на 500м, после этого он начинает погружаться и всплывать в границах глубины от 400м до 500м. После 20 периодов – всплытия и погружения ПЗ всплывает на поверхность.

По результатам моделирования отличие траектории построенной с применением выражения (1) и траектории с применением выражения (9) вдоль горизонтали равно 0,343 , для траектории, полученной с помощью уравнения (10) , при общем пройденном расстоянии в 6874 м.

         Подобным образом рассчитаем погрешность для 10, 20, 30 и 40 циклов при различных глубинах погружения 200м, 500м, 800м, 1000м и одинаковом перепаде глубин для циклической траектории.

На основании данных полученных, путем моделирования данных, можно получить зависимость методической погрешности расчета траектории в зависимости от пройденного пути по горизонтали и глубины погружения для для любого заданного режима движения ПЗ.

Для этой цели запишем три уравнения указанной погрешности при использовании моделей с одним, двумя и пятью членами ряда Тейлора:

,  (12)

,           (13)

, (14)

где XM – пройденный по горизонтали путь в метрах,

YM – глубина погружения в метрах.

На оснований соотношений (12-14)         определим расстояние после прохождения которого создается отклонение от заданного курса

На оснований соотношений (12-14)         определим расстояние после прохождения которого создастся отклонение от курса ПЗ равной 10м при глубине погружения 1000м. Для модели с применением (9) этот путь составит 185 км, для выражения (10) – 990 км, для выражения 11 – 1021 км. В реальных условиях расстояния между всплытиями не будет превышать двухсот километров, поскольку зонду необходимо отправлять собранную информацию, сообщая о своем местоположении и запрашивать данные о корректировке курса. Кроме того после нескольких всплытий и погружений необходимо заряжать аккумулятор с помощью солнечных батарей, если такая возможно будет предусмотрена конструкцией.

На основании проведенного анализа можно сделать вывод о том, что использование упрощенной модели, где угол атаки напрямую связан с углом дифферента, возможно для расчета местоположения планирующего зонда  в целях экономии ресурсов бортового компьютера и снижения его стоимости. В случае необходимости более высокой точности, для встречи, например, с исследовательским судном, можно использовать уравнения, где тангенс был заменен несколькими членами ряда.

Литература:

1.       Великанов Д.В. Управление траекторией движения планирующего зонда // Материалы международной научно-практической конференции «Наука: теория и практика - 2011» – Пржемысл, Чехия: Наука и исследования, 2011г., с. 44-47.

2.       Graver G. J. Underwater Glider Model Parameter Identification / J. G. Graver and R. Bachmayer and N. E. Leonard.// The 13th International Symposium on Unmanned Untethered Submersible Technology (UUST) – Durham, USA, August 2003.