Математика/5. Математическое моделирование

Джамиева Б., Мамешов Б.

Южно-Казахстанский государственный университет им. М. Ауэзова

Моделирование течения двухфазной среды в трубе переменного сечения при наличии фазовых превращений

Многофазные (или гетерогенные), в частности, двухфазные дисперсные системы часто встречаются в различных областях современной техники и человеческой деятельности. При этом течение таких сред в большинстве случаев сопровождается тепломассообменными процессами и является одной из актуальных проблем динамики и теплофизики многофазных систем [1-4].

В рамках механики многофазных сред [1] стационарное движение двухфазной парокапельной среды в квазиодномерном приближении описывается следующей системой уравнений:

, , (1)

(2)

, (3)

, (4)

, ;

, (5)

Здесь нижние индексы 1 и 2 относятся к параметрам газовой и конденсированной фаз соответственно; - истинная и приведенная плотности, объемное содержание, скорость и энтальпия фаз; p, n, d – давление в газе, концентрация и диаметр капель; x, S(x) – продольная координата и площадь поперечного сечения канала; - энтальпии фаз в состоянии насыщения; ,,, - соответственно интенсивность фазовых превращений, сила вязкого трения между газом и каплей, а также интенсивности оттока тепла от газа и основной массы капли к межфазной поверхности в единицу времени на единице длины канала. Уравнения (1) это уравнения неразрывности фаз и уравнение сохранения числа дисперсных капель, уравнения (2) – уравнения сохранения импульсов фаз, уравнения (3), (4) – уравнения сохранения энтальпий фаз. Отметим, что при записи уравнений сохранения энтальпий фаз использована трехтемпературная схема, когда температура межфазной поверхности отличается от температур газа и основной массы капли.

Для замыкания системы (1)-(5) необходимо добавить термодинамические уравнения состояния фаз. При этом газ будем считать калорически совершенным с постоянной теплоемкостью, а капли – несжимаемыми. Тогда в соответствии с положениями раздела 1 будем иметь

, , (6)

,

где - температуры и теплоемкости газа (при постоянном давлении) (k=1) и капель (k=2); R – газовая постоянная; , , , - параметры среды в некотором фиксированном (начальном) состоянии, относительно которого отсчитываются все изменения. Следует иметь в виду, что энтальпия пара в общем случае зависит от давления и связана с энтальпией жидкой фазы. В случаях, когда давление и температура меняются не в очень широких диапазонах, а сами давления не очень высоки, можно обойтись моделью калорически совершенного газа (6). При этом необходимое условие пригодности (6) обеспечивается, если зависимость для теплоты парообразования описывается следующей формулой [1]:

,

Здесь и - температура насыщения и теплота парообразования. В достаточно широком диапазоне изменения параметров p и T можно использовать аппроксимацию

(7)

где , - аппроксимационные параметры. Для , и воспользуемся формулами

, , . (8)

Силу вязкого взаимодействия капли с несущей средой и интенсивности теплообмена , зададим следующими формулами [1,2]:

, , (9)

Здесь , - коэффициенты теплопроводности газа и капель; - температура межфазной поверхности, которую обычно можно принять равной температуре насыщения . Для коэффициента сопротивления капли и чисел Нуссельта , можно использовать известные выражения [1,2].

При заданных параметрах на входе трубы

х=0: = , (10)

распределение параметров вдоль трубы длиной L (0≤х≤L) находится путем решения задачи Коши (1)-(10).

Складывая оба уравнения масс фаз (1) получим интеграл массы или расхода смеси . Имеет место также интеграл энергии смеси

Эти первые интегралы можно использовать, в частности, для проверки решений поставленной задачи Коши. Комбинируя уравнения системы (1)-(5) можно получить уравнение отдельно для давления, которое имеет вид

,

_,,

,

Здесь - показатель адиабаты газовой фазы. В качестве характерной длины задачи выбиралась минимальная среди характерных длин выравнивания скоростей , температур капли и газа и длины трубы L

Литература:

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. - М.: Наука, 1987.

2. Ивандаев А.И., Кутушев А.Г., Нигматулин Р.И. Газовая динамика многофазных сред//Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. Т.16. М.: ВИНИТИ, 1981.

3. Пирумов У.Г. Перспективные методы получения ультрадисперсных частиц в высоскоростных потоках // Проблемы машиностроения и надежности. – 1996. - №1. – С. 94-116.

4. Аникеев В.И., Степанов Д.А., Ермакова А. Моделирование и расчет процесса быстрого расширения сверхкритического флюида с образованием наночастиц // Теоретич. основы хим. технологии. –2011.–Т.45,№2. –С.155-169.