Технические науки/2. Механика.

 

к.ф.-м.н., доцент Нуримбетов А.У., Туреханова Г.И., Жанбосынов Р.С.

Таразский государственный  университет им. М.Х. Дулати, Казахстан

 

Основные соотношения динамической упругости армированного слоистого стержня с переменными физико-геометрическими параметрами

 

Используемые в практической деятельности человека материалы, как правило, неоднородны. В таких материалах, как металлические сплавы, характерный размер неоднородности (d) мал по сравнению расстояниями (L), характеризующими "неоднородность" деформации (L>d). Для композицион-ных материалов (КМ), полученных армированием материала матрицы волокнами наполнителя, характерный размер () неоднородности структуры (например, толщина слоя, обусловленная диаметром волокна d1), намного больше, чем для металлических сплавов (>d1»d). Поэтому возможны такие условия динамического нагружения композиционных тел, когда характерный размер "неоднородности" деформации (L) не сильно превышает характерный размер "неоднородности" структуры (). Структурная теория армированных сред [1] позволяет описать такие деформации (L>>d1)  если эти размеры обеспечивают справедливость осреднения параметров по фазам композиции [3], т.е. они отличаются хотя бы на порядок. В первой части данной работы получены основные вариационные принципы связанной и несвязанной упругости армированного слоистого тела в условиях динамического деформирования. Во второй части работы исследованы свободные изгибные колебания армированных слоистых  стержней. При этом рассмотрены два случая: разность смещений компонентов слоев ничтожно мала, смешения таковы, что нельзя пренебречь их.

Во втором случае получен качественно новый результат. Численный анализ простейших случаев показывает удовлетворительное совпадение собственных частот с опытными данными.

1. Основные соотношения динамической упругости армированных тел. При нестационарном деформировании армированных слоистых сред движе­ние их элементарного объема описывается уравнениями

                                                                 (1)

здесь, причем ρi - плотности материала слоя и Vi объемное содержание материала слоя i.

Соотношения между напряжениями  и  деформациями  для слоя i определяются из формулы

         .                                                                (2)

Параметры  являются характеристиками упругости, ,  температура и тензор тепловых расширений i-го слоя КМ [2].

При "обобщенном " кручении компоненты перемещения точек i-го слоя отыскивается в виде

     (3)

Здесь некоторые подлежащие определению функции координат сечения  х, у, t;  t - относительный угол закручивания на единицу длины стержня;  - длина стержня;  (k=1,2) - главные моменты инерции поперечного сечения i-го слоя; = - площадь сечения i-го слоя; - силы и моменты, действующие в поперечном сечении стержня.

Если подставить соотношение (2) в выражения (1), то получатся уравнения движения армированной среды в перемещениях:

                                             (4)

         В этих формулах точка над переменной величиной означает дифференцирование по времени, как и прежде k, j,m,n=1,2,3. Сис­тема трех уравнений (2) содержит в качестве неизвестных 4 переменных: 3 смещений и температуры Тi. Для замыкания системы необходимо добавить уравнения теплопроводности армированной среды [  ]:

                                                   (5)

Здесь wi - члены, характеризующие внутренние источники тепла;  - постоян-ные по величине компоненты симметричного тензора теплопроводности; - коэффициенты теплоемкостей материала слоя при постоянной деформации; Тi - начальные температуры материалов слоя i.

Система уравнений (4) содержит температурные члены, а система (5) - деформационные члены. Таким образом, совокуп­ность этих систем уравнений вместе с соответствующими граничны­ми и начальными условиями будет представлять собой связанную за­дачу динамической упругости слоистых тел. Если сис­тема уравнений (5) не будет содержать деформационные члены, то задача становится несвязанной. Поэтому температурные члены в правых частях уравнений (4) являются известными функциями - решением соответствующей задачи теплопроводности.

2. Принцип виртуальных работ и основная энергетическая теорема.

Добавим к перемещениям , возникшим в материалах слоя под действием изменяющихся во времени на­грузок, виртуальные приращения , которые предполага­ются непрерывными вместе со своими производными до второго по­рядка. Эти приращения являются произвольными, но согласованны­ми с условиями, ограничивающими деформацию тела. Например, на той части тела, где заданы смещения, следует положить  [4]. Рассмотрим вирту-альную работу массовых  поверхностных  сил

                                             (6)

Заменяя во втором интеграле поверхностные напряжения  напряже-ниями  согласно условиям краевой зада­чи и используя теорему Гаусса-Остроградского, можно получить

.                                 (7)

При этом было использовано очевидное ра­венство

,

|в котором                   в котором wkj  - кососимметричный тензор.

Первый интеграл в (6) можно преобразовать с учетом уравнений движе-ния (4). Сравнение полученного результата с выражением (6) приводит к уравнению

                      (8)

Это равенство выражает принцип виртуальных работ динамики армированных слоистых сред, согласно которому виртуальная работа массо­вых, поверхностных сил и сил инерции армированного слоистого тела равна сумме работ сил упругого, вязкого взаимодействия компонентов композиции на виртуальных разностях смещений и работе напряжений на вариациях деформа-ций. Оно справедливо для упругих, так и неупругих слоистых армированных тел, для линейных и нелинейных соот­ношений между напряжениями к соответствующими деформациями.

Введение в выражении (7) физических соотношений (3) позволяет использовать принцип для исследования линейно дефор­мируемого упругого армированного тела, находящегося под воздей­ствием динамических нагрузок. При этом тело может находиться в температурном поле, независящем от деформаций.

Предположим, что приращения  являются дейст­вительными приращениями, т.е. справедливы соотношения

                                                                                           (9)

Введем следующую величину

                                                                           (10)

Здесь К - кинетическая энергия армированного слoистого тела;

Подставляя (9) в равенство (8) и используя обоз­начения (10), после простых преобразований получим основное энергетическое уравнение

,                           (11)

Уравнения (11) выражает закон сохранения энергии. Оно может быть использовано при доказательстве единственности решения дифференциальных уравнений движения (4) для несвязанной за­дачи при соответствующих начальных и граничных условиях.

3. Обобщенный принцип Гамильтона.

Рассмотрим непрерывно изменяющийся во времени между момен­тами t=t0 и t=t1 процесс деформирования. Приравняем действительные перемещения   к перемещениям +d, причем варьировать будем так, чтобы

                                                                    (12)

Запишем принцип виртуальных работ (8) в виде

                                                      (13)

где dLi определяется из уравнения (6).

Проинтегрируем выражение (13) по времени от  t0 до t1:

                                             (14)

Здесь  поэтому вследствие физических соотношений (2) содержит тем­пературные члены.

Вычислим вариацию кинетической энергии (10)

Проинтегрируем это выражение по времени от t=t0 до t=t1. Тогда в силу предположений (12) справедливо равенство

Поэтому уравнение (14) приобретает вид

                                                                  (15)

Это и есть обобщенный на слоистую среду принцип Гамильтона. В левой части равенства (15) знак вариации вынесен за знак первого интеграла по той причине, что величины , K, являются функциями состояния - величинами, зависящими от мгновенного состояния тела независимо от того, каким способом это состояние достигнуто. Знак вариации d в правой части ра­венства (15) можно вынести за знак интеграла только тогда, когда внешние силы обладают потенциалом

тогда

          

         Обозначая через П=+U потенциальную энергию, по­лучим принцип Гамильтона в виде

                                                                                   (16)

где (К-П) - функция Лагранжа. Из (15) видно, что действие по Гамильтону  принимает экстремальное значение, для статической задачи К=0, тогда принцип Гамильтона сводится к принципу минимума потенциальной энергии dП=0.

Полученные на основе предложенной в [1] линейной моде­ли нестацио-нарного деформирования слоистых сред вариа­ционные принципы (8) и (15) позволяют исследовать дина­мические явления в армированных слоистых телах.

 

Литература:

1. Каримбаев Т.Д. Вариант теории армированных сред. - Известия вузов "Машиностроение", 1975, №8.

2. Нуримбетов А.У.  Решение задачи кручения слоистых композиционных стержней произвольного сечения методом конечных элементов //Строительная механика и расчет сооружений.  М.: - 2009. -№4.- с.24-30.

3. Хорошун Л.П. К теории взаимопроникающих упругих смесей. - Прикладная механика, 1977, Т.13, № 10, с. 124-132,

4. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975, - 872 с.