ã
Парфинович Н.В.
Днепропетровский национальный университет
О порядке относительных поперечников
некоторых классов дифференцируемых
периодических функций
Пусть
(
) -
пространства 2π-периодических функций 
с соответствующими
нормами 
. Для класса 
обозначим через
величину наилучшего приближения класса М множеством 
в метрике пространства
. Величину
,
где 
-
подпространства пространства (
), называют n-поперечником
по Колмогорову класса М в пространстве .
Пусть 
- еще
один класс функций. Величина
(1)
(
, )
называется относительным n-поперечником. Величины типа
(1) введены в рассмотрение В.Н. Коноваловым в 1984 году.
Обозначим через 
(
) класс функций, у которых 
-я
производная локально абсолютно непрерывна (
) и 
, а через 
- класс функций, у которых и 
.
Хорошо известно, что при всех 
и 
будет
|
|
)( |
|
,Ясно также,
что для любого
|
|
)( |
|
Вместе с
тем В.Н. Коновалов [1] установил, что в отличие от (2) и (3), для всех 
будет
|
|
)( |
|
Аналогичное
соотношение в случае 
получено В.Ф. Бабенко
[2], [3]: при всех имеют место порядковые равенства:
|
|
)( |
|
)( |
|
В.Ф.
Бабенко также доказал, что при любом
фиксированном 
и при всех 
выполняется
|
|
)( |
|
Нами
рассмотрен вопрос о поведении при 
величин 
и 
, где 
- невозрастающая
последовательность положительных чисел.
Имеют место следующие результаты.
Теорема 1. Для всех , при справедливы следующие
порядковые равенства
|
|
)( |
|
)( |
|
,
;|
|
)( |
|
)( |
|
.Теорема 2. Для всех , справедливы следующие соотношения.
Если 
при , то
|
|
)( |
|
)( |
|
|
|
)( |
|
)( |
|
если 
, то
.
Список литературы
1. Коновалов В.Н. Оценка поперечников типа Колмогорова для классов дифференцируемых периодических
функций // Мат. заметки. 1984. Т.35, вып. 3. С. 369 - 380.
2.
Бабенко
В.Ф. Наилучшие 
-приближения
классов 
сплайнами из // Укр. мат. журн.
1994. Т.46, № 10. С. 1410 - 1413.
3. Бабенко В.Ф.
Приближение в среднем при наличии ограничений на производные
приближающих функций // Вопросы анализа и приближений. - Киев: Ин-т математики
АН УССР, 1989. С. 9 - 18.