Функциональный метод Вороного

Бойцун Л.Г, Рыбникова Т.И.

Днепропетровский национальный университет

Пусть функция f(t) интегрируемая на каждом конечном промежутке , и S(t)= . Пусть p(t)- интегрируемая на каждом конечном промежутке и P(y)= .

Говорят, что интеграл суммируется методом Вороного к I, или суммируется (W,(p(y)) к I, если

Говорят, что интеграл абсолютно суммируется методом Вороного, или суммируется , если .

В случае p(t)= метод превращается на хорошо известный метод Чезаро ((С, )-метод), так что интеграл суммируется методом (С, ),, к I, если Говорят, что интеграл суммируется методом гармонических средних к I, если .

Этот метод является частным случаем метода Вороного в случае p(t)= (так что P(y) при )

Метод суммирования называется регулярным, если сходящиеся интегралы суммируются данным методом к тому же самому значению. Условиями регулярности метода является равенство для каждого конечного и асимптотическое при соотношение

Говорят, что интеграл суммируется произведением метода Чезаро и метода Вороного к I т.е суммируется (С,1) (W,p(y)) к I, если , и абсолютно суммируется (C,1) (W,p(y)), или суммируется , если

Говорят, что интеграл суммируется произведением метода Вороного и метода Чезаро к I, т.е суммируется (W,p(y)) (С,1) к I, если

где ,

И абсолютно суммируется (C,1) или суммируется, если

Пусть функция . Ее интеграл Фурье есть ,

сопряжённый интеграл Фурье

.

Продифференцированный интеграл Фурье функции f(t) и сопряженный к нему даются выражениями

и соответственно .

Авторы систематически проводят математические исследования, связанные с функциональным методом суммирования Вороного в следующих направлениях:

а) Суммирование тригонометрических интегралов Фурье методом Вороного.

Установлены разные типы достаточных условий на функцию p(t) и точку функции f(t), при которых интеграл Фурье и его сопряженный, продифференцированный интеграл Фурье и его сопряженный суммируются методом Вороного.

б) Абсолютная суммируемость методом Вороного тригонометрических интегралов Фурье.

в) Абсолютная суммируемость методом Вороного интегралов Фурье с множителями, то есть интегралов вида где

г) Абсолютная суммируемость тригонометрических интегралов Фурье методами (C,1)и (W,p(y)) (С,1)

д) О степени приближения функции средними Вороного её интеграла Фурье.

Из теорем, полученных авторами, как частный случай вытекают соответствующие теоремы о суммировании методом Чезаро и методом гармонических средних.