Каразимова К.Г., магистрант ЕНУ им.Л.Н.Гумилева

Муратова Ж.М., ст.преподаватель ЗКГУ им.М.Утемисова

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА

МОНТЕ-КАРЛО

Методами Монте-Карло называют численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин. Однако, решать методами Монте-Карло можно любые математические задачи, а не только задачи вероятностного происхождения, связанные со случайными величинами.

Важнейшим приемом построения методом Монте-Карло является сведение задачи к расчету математических ожиданий. Так как математические ожидания чаще всего представляет собой обычные интегралы, то центральное положение в теории метода Монте-Карло занимают методы вычисления интегралов.

Преимущества недетерминированных методов особенно ярко проявляются при решении задач большой размерности, когда применение традиционных детерминированных методов затруднено или совсем невозможно.

Границы между простым и сложным, возможным и невозможным существует всегда, но с развитием вычислительной техники сдвигаются вдаль. До появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) методы Монте-Карло не могли стать универсальными численными методами, ибо моделирование случайных величин вручную- весьма трудоемкий процесс. Развитию методов Монте-Карло способствовало бурное развитие ЭВМ. Алгоритмы Монте-Карло сравнительно легко программируются и позволяют производить расчеты во многих задачах, недоступных для классических численных методов. Так как совершенствование ЭВМ продолжается, есть все основания ожидать дальнейшего развития методов Монте-Карло и дальнейшего расширения области их применения.

Для моделирования случайных процессов, связанных с применением метода Монте-Карло, необходимы случайные числа.

Поскольку при вычислениях методом Монте-Карло существенное количество операций расходуется для оперирования над случайными числами, то наличие простых и экономных способов формирования последовательности случайных чисел во многом определяет возможность практического использования этого метода.

В качестве исходной совокупности случайных чисел, используемых для образования случайных элементов различной природы, необходимо выбрать такую совокупность которая может быть получено с наименьшими, по возможности, затратами машинного времени и, кроме того, обеспечивает простоту и удобство дальнейших преобразований. Обычно считают, что этим требованиям удовлетворяет совокупность случайных чисел с равномерным распределением в интервале (0,1). Исходя из равномерно распределенных случайных чисел, можно конструировать как случайные события, возникающие с любой заданной вероятностью, так и случайные величины, обладающие практически любым законом распределения.

Цель работы- изучение особенностей применения метода Монте-Карло в решении задач численного интегрирования.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1) изучение теоретических основ метода Монте-Карло (идея метода, алгоритмы расчета, способы оценки погрешности);

2) создание электронного информационного ресурса ;

3) создание программы для приближенного вычисления интегралов с использованием метода Монте-Карло;

4) подбор примеров для проведения численного эксперимента и анализ результатов оценки погрешности.

При изучении теоретических основ метода Монте-Карло были проанализированы из многих источников.

Основные сведения из теории вероятностей и математической статистики, необходимые для метода Монте-Карло, содержаться в [3], [7].

Для моделирования случайных процессов, связанных с применением метода Монте-Карло, необходимы случайные числа; информацию о генераторах случайных чисел можно найти в [4], [5], [6], [7].

Использование метода Монте-Карло для вычисления одномерных интегралов подробно обсуждается [8].

Наиболее типичный из возможных способов вычисления многократных интегралов методом Монте-Карло описан в [1].

Некоторые способы уменьшения дисперсии, а, следовательно, ошибки интегрирования достаточно развернуто изложены в [4].

Общие методы понижения дисперсии при вычислении интегралов [1].

Примеры применения метода Монте-Карло [2].

Литература:

[1] Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование -М.:Наука,1982г. 104 стр.

[2] Соболь И.М. Метод Монте –Карло - М.:Наука, 1978г. 32 стр.

[3] Соболь И.М. Численные методы Монте –Карло - М.:Наука, 1973г. 312 стр. с илл.

[4] Соболь И.М. Численные методы Монте – Карло (Популярные лекции по математике, вып. 46) - М.:Наука, 1968г. 64 стр.

[5] Шеннон Р. Имитационное моделирование систем – искусство и наука - М.:Мир, 1978г.

[6] Брусленко М.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний (Монте-Карло) и его реализация на цифровых вычислительных машинах – М.: ФИЗМАТГИЗ, 1961г.

[7] Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы - М.:Наука, 1975г. 472 стр.

[8] Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов ВТУЗов – 3-е изд., перераб. и доп.М.:Высш.школа, 1979г. 400 стр. с илл