Математика/5. Математическое моделирование

К.т.н., доцент Кабулова Е.Г.

Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) «Национального исследовательского технологического университета «Московский институт стали и сплавов», Россия

Динамические задачи принятия решений и управления в условиях стохастической неопределенности в металлургических процессах

В настоящее время при исследовании и моделировании определенного процесса в металлургическом производстве редко располагают необходимой для управления полной априорной информацией о нем. Даже если известны системы уравнения, описывающие поведение процесса (объекта), то часто оказывается, что нет данных о величине отдельных параметров, и к тому же нередко имеющиеся модели слишком сложны. В дальнейшем оказывается, что принятая при исследовании модель существенно отличается от реального процесса, что значительно уменьшает эффективность управления. В связи с этим актуальной становится возможность уточнения модели на основе наблюдений, полученных в условиях функционирования объекта исследования [1].

Задача идентификации формулируется следующим образом: по результатам наблюдений над входными и выходными переменными системы должна быть построена оптимальная в некотором смысле модель, т.е. формализованное представление этой системы. В зависимости от априорной информации об объекте управления различают задачи идентификации в узком и широком смысле. В последнем случае приходится предварительно решать большое число дополнительных проблем. К ним относятся: выбор структуры системы и задание класса моделей, оценка степени стационарности и линейности объекта, степени и формы влияния входных воздействий на состояние, выбор информативных переменных и др. Задача идентификации в узком смысле состоит в оценке параметров и состояния системы по результатам наблюдений над входными и выходными переменными, полученными в условиях функционирования объекта. Для решения отмеченных проблем в современной теории управления обычно используют модели в пространстве состояний.

Проблеме построения алгоритмов управления объектами с неполной информацией в настоящее время уделяется большое внимание. Это объясняется прежде всего тем, что при создании систем управления сложными технологическими процессами обычно не располагают достоверными моделями объектов. Ни одна из существующих теорий не может претендовать на то, что единственно она дает правильное описание работы систем. Скорее имеется целый спектр теорий, трактующих эти проблемы. При имеющемся сейчас узком рассмотрении лишь отдельных процессов и только на определенных уровнях описания получается одностороннее представление о системе, не позволяющее иметь достоверные оценки обо всех процессах.

Поведение реальной системы характеризуется некоторой неопределенностью, причем при достаточно большом объеме информации об объекте внешнее возмущение, действующее на управляемый объект, можно представить как случайный процесс. Стохастическое оптимальное управление в значительной степени базируется на основных положениях динамического программирования [4].

Для линейных стохастических систем с квадратичным критерием решение дается так называемой теоремой разделения, которая позволяет составлять оптимальную стратегию из двух частей: оптимального фильтра, который вычисляет оценки состояния в виде условного среднего при заданных наблюдениях выходных сигналов и линейной обратной связи. Оказывается, что линейная обратная связь может быть найдена путем решения задачи детерминированного управления. Оценка состояния характеризует выходную переменную фильтра Калмана, который по существу представляет математическую модель системы, когда управление осуществляется по наблюдениям. Таким образом, теорема разделения обеспечивает связь между теориями фильтрации и стохастического оптимального управления. Под "состоянием" объекта понимают совокупность величин, полностью определяющих его положение в данный момент и играющих роль начальных условий для' всего будущего движения. Такой путь описания, обладая рядом математических преимуществ, получил значительное распространение в системах, подверженных случайным воздействиям [3].

Математические описания динамических объектов при случайных воздействиях внешне ничем не отличаются от соответствующего описания объектов в детерминированной постановке. Однако за внешним сходством скрываются существенные особенности, заключающиеся в том, что в этом случае, как вектор состояния, так и вектор выходных переменных объекта представляют собой случайные процессы, порождаемые либо случайными возмущениями на входе объекта, либо случайными начальными условиями, либо помехами в каналах измерений [2].

Выбор вектора состояния и вывод уравнения состояния являются начальным этапом разработки систем управления динамическими объектами, поскольку первичное описание объектов задается обычно в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных.

Таким образом, математическое моделирование процессов металлургического производства как динамических, например, выплавка стали, в условиях нечеткой и стохастической неопределенности приведет к совершенствованию моделей и алгоритмов управления процессом выплавки стали, а также позволит повысить эффективность технологии и качество выплавляемой стали.

Литература:

1. Благовещенская М.М., Злобин Л.А. Информационные технологии систем управления технологическими процессами. - М.: Высш. Школа.- 2005.- 265 с.

2. Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. Моделирование систем. Динамические и гибридные системы. - СПб.: BHV-Санкт-Петербург. - 432 с.

3. Моделирование сложных систем. Бусленко Н.П.- Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука».М.: 1968.-356 стр.

4. Морозов С.А., Манжула В.Г., Федосеев СВ. Принципы построения математических моделей сложных систем в условиях неопределенности // Фундаментальные исследования. – 2009. – № 4 – С. 74-75