Ленюк М. П.

 

Чернівецький факультет НТУ „ХПІ”

 

ОБЧИСЛЕННЯ НЕВЛАСНИХ ІНТЕГРАЛІВ ЗА ВЛАСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ГІБРИДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ФУР’Є – БЕССЕЛЯ – (КОНТОРОВИЧА - ЛЄБЄДЄВА) НА ОБМЕЖЕНІЙ СПРАВА ПІВПРЯМІЙ

 

Побудуємо обмежений на множині

розв’язок  сепаратної системи диференціальних рівнянь Фур’є, Бесселя та (Конторовича - Лєбєдєва)

      

                              (1) 

за крайовими умовами

                                      (2)

та умовами спряження

               (3)

Припускаємо, що умови на коефіцієнти виконані: , , ;

      У системі (1) беруть участь диференціальні оператори Фур’є  [1], Бесселя  [2] та Конторовича – Лєбєдєва [3]; .

Нагадаємо, що фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є   складають  функції  та   [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя складають модифіковані функції Бесселя  та [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Конторовича – Лєбєдєва  складають модифіковані функції Бесселя та  [3].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати розв’язок крайової задачі (1) – (3) методом функцій Коші [1,4]:                                         

             (4)

Тут  - функції Коші [1,4]:                   

                          (5)

      (6)

       (7)

У рівностях (5) - (7) беруть участь функції:

      Всі інші функції та величини загальноприйняті [6].

Крайова умова в точці  та умови спряження (13.3) для визначення величин та  дають алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

 

 

                                                                   (8)

У системі (8) беруть участь функції

.

та символ Кронекера  [5].

Введемо до розгляду функції:

      Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності крайової задачі (1) - (3): для будь-якого ненульового вектора  визначник алгебраїчної системи (8)

                                                    (9)

Визначимо головні розв‘язки крайової задачі (1) – (3):

1)     породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

                                        (10)

,

,

   2) породжені неоднорідністю системи функції впливу

          

    

                                                              (11)

3) породжені крайовою умовою в точці  функції Гріна

                          (12)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (13.8) та підстановки обчислених значеньтау рівності (13.4) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (13.1) – (13.3):

               (13)

Побудуємо тепер розв’язок крайової задачі (13.1) – (13.3) методом інтегрального перетворення, породженого на множині  гібридним диференціальним оператором (ГДО)

                  (14)

Оскільки ГДО  самоспряжений і має одну особливу точку , то його спектр дійсний та неперервний. Можна вважати, що спектральний параметр  і йому відповідає спектральна вектор-функція

При цьому  повинні задовольняти відповідно диференціальні рівняння

     

                                                             (15)

 

за нульовими крайовими умовами (2) та однорідними умовами спряження (3):  , ,  .

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє покласти

                         ,

,                                       (16)

                              

Однорідні умови спряження (3) та однорідна крайова умова в точці  дають для визначення шести невідомих однорідну алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

               (17)

    Алгебраїчна система (17) завжди сумісна [5]. У результаті її розв’язання й підстановки одержаних значень  у рівності (16) маємо шукані функції:

                                          (18)

У рівності (18) прийнято, що

    

 

Введемо до розгляду спектральну щільність

 та вагову функцію

Наявність спектральної функції , спектральної щільності та вагової функції дозволяє запровадити пряме  та обернене  гібридне інтегральне перетворення, породжене на множині  ГДО [6]:

          ,                                           (19)

                                                     (20)

          Побудований за відомою логічною схемою [7] єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3) має структуру:

   

     (21)

      У рівності (21) беруть участь величини та функції:                                   

       

     Порівнюючи розв‘язки (13) та (21) в силу єдиності, маємо формули обчислення невласних інтегралів:

, j = 1, 3                  (22)

                              (23)

                           (24)

                              (25)

          Функції  визначені формулами (11), функції Гріна  - формулами (12), а функції Гріна умов спряження - формулами (10).

          Зауваження 1: Якщо , то і Якщо , то і  Якщо , то і

          Зауваження 2: Оскільки праві частини формул (22) – (25) не залежить від нерівностей , то можна при необхідності покласти

Як результат маємо твердження.

Основна теорема: Якщо вектор-функція  неперервна на множині , функції  задовольняють крайові умови (2) та умови спряження (3) і виконується умова (9) однозначної розв’язності крайової задачі (1) - (3), то справджуються формули (22) - (25) обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними елементами ГДО , визначеною рівністю (14).

 

      Література:

      1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.:Физматгиз, 1959. – 468с.

      2. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1983. – 62с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

      3. Ленюк М.П. Міхалевська Г.І. Інтегральні перетворення типу Конторовича – Лєбєдєва. – Чернівці: Прут, 2002. –280 с.

       4.  Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс.- М.: Наука, 1965.-328с.

      5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.- М.: Наука, 1971.-432с.

      6. Ленюк М.П. Гібридні інтегральні перетворення  типу Ейлера – (Фур’є, Бесселя).- Чернівці: Прут, 2009.-76с. – (Препринт / НАН України. Ін-т прикл. Механіки і математики ім.. Я.С.Підстригача; 02.09).

      7. Ленюк М.П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтегральних перетворень (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Том V – Чернівці: Прут, 2005. – 368с.