МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСАЖДЕНИЯ СУСПЕНЗИИ С УЧЕТОМ СТЕСНЕННОСТИ ДИСПЕРСНОЙ ФАЗЫ

 

*Аманбаев Т.Р., **Энтони С.Д., *Джумагалиева А.

*ЮКГУ им. М. Ауезова, Шымкент, Казахстан, **Университет Лидса, Лидс, Великобритания

 

       Рассмотрим процесс разделения суспензии, то есть процесс осаждения твердых частиц в несжимаемой жидкости под действием силы тяжести. Подобные процессы довольно часто встречаются в различных областях химической технологии. В последнее время с появлением повышенного интереса к наножидкостям (жидкостям с наноразмерными частицами) ввиду их уникальных свойств этот вопрос становится достаточно актуальным. Связано это с тем, что наносуспензии являются довольно нестабильными, т.е. в силу различных причин частицы могут коагулировать и при достижении некоторого критического размера начинают осаждаться. При этом зачастую осаждение происходит в условиях стесненности, т.е. при наличии взаимовлияния дисперсных частиц друг на друга.     

      Таким образом,  процесс осаждения частиц в несжимаемой жидкости  можно описать в рамках механики многофазных сред следующими уравнениями [1]:

 

                                       ,    ,                                   (1)

    ,          (2)

 ,  ,  ,

      Здесь нижние индексы 1 и 2 соответствуют несущей и дисперсной фазам; - объемные содержания, векторы скоростей, приведенные и истинные плотности фаз; - давление в несущей среде;  , - силы присоединенных масс и вязкого взаимодействия между фазами;  - вектор ускорения силы тяжести;  - вектор напряжения, характеризуемый переносом импульса в дисперсной фазе за счет эффекта столкновений частиц между собой. Уравнения (1) – уравнения неразрывности несущей и дисперсной фаз, уравнения (2) – уравнения сохранения импульсов.

     Для и  можно использовать зависимости [1]:

                      ,                    (3)

                                            ,                                           (4)

      Здесь  - диаметр частиц, динамическая вязкость жидкости, коэффициент сопротивления и число Рейнольдса частиц; и  коэффициенты инерционного и вязкого взаимодействия фаз, зависящие от структуры среды, причем разреженной дисперсной смеси с частицами с радиусом  соответствует =1 и =, а в пористой среде с прямолинейными цилиндрическими каналами радиусом , ориентированными вдоль направления относительного движения и ускорения фаз, соответствует  =0 и =. Для коэффициента сопротивления  в зависимости от концентрации частиц используются различные соотношения [1]. В частности, при ползущем течении, когда справедлив обобщенный закон Стокса, т.е. при  коэффициент  запишется в виде:

                                                    ,                                            (5)

     Коэффициент    характеризует влияние стесненности и зависит от структуры расположения частиц. Например, для двух предельных схем расположения частиц имеем

      для ячеистой или регулярной схемы:

                                        ,                                     (6)        

      для хаотического расположения частиц:

                                                           ,                                              (7)

      При достаточно большом содержании частиц в суспензии необходимо учитывать эффект столкновений частиц между собой, который приводит к появлению переноса импульса в дисперсной фазе. В связи с этим следует ввести тензор напряжения , компоненты которого выражаются по формуле [1]:

               , ;     , ,           (8)

где  - критическое объемное содержание частиц, соответствующее плотной упаковке. В случае, когда частицы соприкасаются друг с другом, а их центры образуют кубическую решетку , а при наиболее плотной упаковке, когда центры частиц образуют тетраэдрическую решетку .

     Таким образом, система (1), (2) с замыкающими соотношениями (3) – (8) представляет собой замкнутую систему для неизвестных параметров смеси . Путем преобразований эту систему можно привести к двум уравнениям относительно  и , которые в плоском одномерном случае имеют вид (ось z направлен вверх)

                                                                   (9)

   

   (10)

 

     Поставим для системы (9),(10) начальные и граничные условия. Предположим, что в начальный момент времени, дисперсная фаза распределена в покоящейся суспензии равномерно с объемным содержанием . На нижней границе при  поставим следующие условия:,  .  Поставленная начально-краевая задача решается численно. Некоторые результаты приведены в таблице ниже.

     Далее рассмотрим движение одиночной частицы с учетом явления стесненности, проявляющегося вследствие взаимодействий частиц друг с другом через изменение поля скорости жидкости вокруг частицы. Явление стесненности возникает при движении двухфазных систем с концентрацией дисперсной фазы более 2-5 объемных процентов. Уравнение движения одиночной частицы в двухфазной системе с объемным содержанием дисперсной фазы  имеет вид [1]:

 

                                       (11)                                            

 

где . Скорость вытеснения жидкости вверх  при осаждении частиц выражается по формуле

 

Учитывая это соотношение, предыдущее уравнение приводим к форме

 

                                        (12)

 

       В предельном случае стоксового режима обтекания частиц, когда Re12<<1, уравнение (12) существенно упрощается и имеет аналитическое решение. Учитывая, что

 

,      ,              

 

где - коэффициент характеризующий влияние стесненности, выражение в правой части уравнения (12) можно привести к виду:

 

 

Таким образом, уравнение (12) примет вид:

 

,      

 

здесь , . Полученное уравнение имеет следующее аналитическое решение:

 

                                                          (13)

 

где , . При  движении без учета стесненности, т.е. при  скорость осаждения частицы примет вид:

     Из решения (13) следует, что при больших значениях времени  скорость осаждения стремится к постоянному значению: . В ряде случаев для коэффициента стесненности предлагается использовать выражение [1]: , . В результате для  имеем следующую зависимость:

 

Следовательно, формулу для установившейся скорости осаждения частиц  можно записать в виде:

 

 

Таблица – Зависимость установившейся скорости осаждения частиц от их объемного содержания

 

(Расчет по явной схеме  осаждения)

0,001

1,1734

-0,8515

-0,8522

0,01

1,4374

-0,6941

-0,6956

0,1

2,2896

-0,4359

-0,4367

0,5

4,2052

-0,2364

-0,2378

0,7

4,9603

-0,2007

-0,2016

 

       Как видно из приведенных результатов, получено хорошее совпадение с результатами численных расчетов по явной схеме.

 

    Литература

 

1. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.