^{Економічні науки/4.Інвестиційна діяльність та фондові ринки}

^{Батицький Р.О., Дрожжина Л.В. доц. каф. ЕК}

^{Дніпропетровський національний університет, Україна}

^{Управління портфелем фінансових активів на основі}

^{делегування повноважень.}

В нашій моделі, горизонт часу - [0; T], керівник (інвестори чи компанія-фонд) наймає менеджера, щоб управляти її капіталом починаючи від моменту 0 і до збільшення його до певної величини до моменту часу T, який визначається керівником, позначимо його .

На практиці, очевидно, що вибір того чи іншого портфелю або ж збільшує або зменшує розмір початкового капіталу. Приймемо, для даної моделі, що торгівельні стратегії менеджера самофінансовані, тобто отримавши початковий капітал він починає здійснювати операції купівлі-продажу в межах його розміру і не звертається до фірми-інвестора за додатковими коштами.

На ринку доступні N+1 видів цінних паперів. Один - безризиковий бонд, і інші N - ризиковані цінні папери. Ми припускаємо, що зміна ціни бонду детермінований процес з постійною нормою r, . Для ризикованих цінних паперів N, ціна змінюється за законом багатовимірного геометричного Броунівського руху який має наступний вигляд

1)

де , , це , () і () відповідно, і це – матриця розміру N x d. Зазначимо, що це - стандартний Броунівський рух у просторі з імовірнісними характеристиками , із стандартною фільтрацією, яку позначимо .

Окрім того припустимо, що фінансовий ринок повний, тобто встановимо без втрати загальності. За такої умови, - це матриця розміру N x N.

Торгова стратегія менеджера це - допустимий процес , який прогресивно вимірний щодо фільтрації, і задовольняє умові:

2)

для всіх - які відображують частину початкових коштів розміщених, і-му ризикованому цінному папері.

Таким чином отримавши торгову стратегію, ми можемо визначити відповідний повний процес зміни капіталу наступним чином

3)

Зазначимо, що керівник не знає торгової стратегія менеджера, і вона не може визначатися у контракті.

Введемо у модель поняття, щільності процесу в момент T, який еквівалентний мартингалу:

де .

Зв'язана (отримана) функція ціни в момент T має значення , а відповідна їй щільність розподілу має вигляд:

4)

де і

Нашим завданням є розробка схем компенсації (оплати) за якою керівник розраховуватиметься з менеджером і яка базується на отриманому (кінцевому) капіталі та інформації про ціни на цінні папери s; де s може бути цінами, отриманими в результаті цінових процесів у певному наборі цінних паперів (чи у всьому портфелі). І через цей механізм керівник і менеджер фонду свої функції корисності, що ґрунтуються на отриманому капіталі в заключний момент T, та інформації про ціни s.

Введемо наступні величини:

- набір цінних паперів, який обирається менеджером виходячи з обмеження ,

де - кінцева ціна портфелю.

- функцій корисності фірми інвестора.

- функція корисності менеджера.

Оптимізаційна задача приймає наступний вигляд:

5)

з обмеженнями:

6)

7)

Як бачимо в даній моделі максимізується функція корисності фірми інвестора (5), яка в свою чергу залежить від різниці між кінцевим доходом від портфелю та виплатами менеджеру. Обмеження 6 показує прагнення менеджера діяти покриваючи певний мінімальний рівень своїх доходів - . І обмеження 7 показує, що функція прибутку портфелю залежить від вибору його структури, яка в свою чергу вибирається менеджером з умови максимізації його прибутку.

Подальші розрахунки дозволяють нам знайти оптимальну схему платежу , за якою розраховуватиметься фірма-інвестор з фірмою-менеджером, за створення портфелю цінних паперів, який розроблятиметься з умов максимізації прибутку менеджера і при цьому також максимізуватиме прибуток інвестора.