Проскурня  В. Н., Бондаренко Л. М., Азімов Р. Р.

Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені Академіка В. Лазаряна

Зв'язок між допустимими контактними напруженнями та законом руху при коченні

 

При дослідженні плоского руху твердого тіла типу диска по площині необхідно знати крім коефіцієнта ковзання f  і коефіцієнт тертя кочення k. Як перша, так і друга величини знаходяться експериментально. Якщо коефіцієнт f у меншій мірі залежить від допустимих контактних напружень  контактуючих тіл, то на величину k їх вплив суттєвий. Суть проблеми полягає в тому, що невідомо як саме впливає величина контактних напружень на величину коефіцієнта тертя кочення, а отже, і на закон руху.

Розглянемо задачу наведену в [1] і знайдемо силу тертя кочення FT диска; модуль сили, який забезпечує кочення диска без проковзування; граничне значення модуля сили та диференційне рівняння руху центра диска з врахуванням зміни допустимих контактних напружень матеріалів диска і похилої поверхні.

Будемо, як і в [1], вважати, що на диск діють такі сили  - сила тяжіння;  та  - активні сили;  - сила тертя;  - нормальна реакція похилої поверхні; МТ= k∙N – момент тертя кочення (рис.1).

 

Рис. 1.Сили, які діють на диск при коченні

Диференційні рівняння плоского руху диска:

                             ;

                                    ;                                   (1)

                                              .

 Оскільки

                                            ;  ,                                            (2)
то рівняння (1) запишемо у вигляді

                                                               (3)

Маючи на увазі, що  та прийнявши, наприклад, що  отримаємо

                       (4)

Звідси можна знайти, що

                                                                                         (5)

де

                                                              

                                                                                                           

Тепер встановимо зв'язок між k і r.

Виходячи з контактної теорії  Герца при ширині диска В отримаємо для початкового лінійного контакту. [2,3]

                                                                                         (6)

При цьому радіус диска і, наприклад, при ρс=const вирази для визначення коефіцієнтів a і b приймають вигляд:

                                          

                                                                           

Граничне значення модуля сили тертя визначиться із виразу:

                                                         (7)

Модуль цієї сили, який забезпечує кочення диска без проковзування, визначається із виразу

                                                                                 

Областю значення сили Р, під дією яких диск котиться без проковзування обмежується областю

                                                                          .

Граничні значення сили Р знаходяться із виразів (5) та (7) із умови, що                                                                               При

Якщо із вище наведених рівнянь виключити силу , то рівняння руху центра диска

                          (8)

Аналіз отриманих формул дозволяє зробити такі висновки:

– величина допустимих контактних напружень між тілами кочення і поверхнею кочення суттєво впливають на величину сили тертя кочення  (наприклад), при  величини  відрізняються, у залежності від величини навантаження, до декількох раз, збільшуючись зі збільшенням навантаження;

– величина граничних сил Р1 і Р2, що обмежують силу Р, яка визначає  кочення диска без проковзування, відрізняється, наприклад Р1, в декілька разів при  і в меншій мірі – Р2;

– прискорення центра диску при   значно відрізняються, сягаючи 5 разів при максимальному значенні сил Р2.

Література:

1.           Яскілка М.Б. Збірник завдань для розрахунково – графічних робіт з теоретичної механіки. – Київ: Веселка, 1999.-357с.

2.           Справочник по сопротивлению материалов/Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В.- Киев: Наук.думка, 1988.-736с.

3.           Бондаренко Л.М. Аналітично – експериментальне визначення коефіцієнта тертя кочення ||Будівництво України.-2001.-№5.-с.47-48.