Технические науки/2. Механика

А.А. Танирбергенова

Карагандинский государственный технический университет, Казахстан

Приближенный метод расчета упругих

систем на надежность

Рассмотрим задачи расчета упругих систем по предельному состоянию. При решении квазистатических задач, надежность систем равна вероятности не превышения расчетным (эквивалентным) напряжением предельного уровня . Если расчетные и предельные напряжения являются случайными величинами с известными законами распределения , , то для определения надежности имеем следующие формулы:

, , (1)

где - случайная величина; - закон ее распределения.

Иногда бывает так, что плотности распределения , определяются только численно или выражаются через специальные функции и интегралы (1) не вычисляются аналитически. В практике инженерных расчетов встречаются случай, когда вероятностные характеристики напряжений определены в результате численного, лабораторного или натурного эксперимента и представлены в виде гистограмм и нет веских оснований для принятия допущения о каком либо конкретном законе распределения. Во всех этих случаях для расчета надежности применяются численные или приближенные методы.

Предлагаемый приближенный метод базируется на замене сложного закона распределения или гистограммы взвешенной суммой нормальных законов распределения. В этом случае можно записать

(2)

где - вероятность того, что имеет место распределение.

.

Для разбивки произвольного закона распределения на нормальные составляющие удобнее всего использовать простой графический способ. Для этого заданную кривую распределения разбивают на равнобедренные треугольники таким образом, чтобы при сложении соответствующих им абсцисс получилась бы кривая, как можно ближе к заданной. Треугольное распределение, как известно, довольно точно может быть заменено нормальным законом с равной дисперсией. Дисперсия распределения по равнобедренному треугольнику с основанием равна . При таком представлении математическое ожидание и дисперсия заменяющего закона будут равны

, , (3)

где , определяются из графика. Кроме этого из графика берутся ординаты, соответствующие вершинам треугольников . Тогда , где - площадь - го треугольника.

Формулу (3) можно использовать для оценки погрешности произведенной замены по математическому ожиданию и дисперсии. Эти оценки в дальнейшем могут быть использованы для оценки точности предложенного приближенного метода расчета надежности. Если из – за сложности закона распределения надежности предполагается расчет надежности вести с применением ЭВМ, то можно поступить так. задавшись вероятностью того, что минимальное значение напряжения будет не менее и максимальное значение не более , находим область изменения напряжения, как квантили заданного распределения, соответствующие вероятности и . Поделим ее на разрядов одинаковой ширины и найдем середины разрядов : , . Найдем значений плотности распределения . Тогда заменяющий закон распределения можно записать в виде (2), где , . Конкретный вид формул для расчета надежности упругих систем зависит от вида закона распределения предельного напряжения. При нормальном законе распределения, применяя формулу (1), получаем

, , (4)

где - табулированная функция нормального распределения.

Если предельное напряжение распределено по закону Вейбулла

при ; при ,

То можно воспользоватся результатами, полученными в работе [1]. Для этого ведем обозначения: ,

Тогда с учетом (2) для расчета надежности получим следующее выражение

.

Выражение для определения вероятности безотказной работы при нормальном законе для напряжения и предельном напряжений, подчиненном гамма – распределению также приведено в [1]. Введем обозначения: , , ,

.

Тогда с учетом (2) имеем . Если закон распределения предельного напряжения задан в виде гистограммы или имеет сложный вид, то его также можно представить в виде композиции нормальных законов

.

В этом случае воспользовавшись формулой (1), получим

, .

При решении задач проектирования элементов конструкции заданной надежности напряжение должно быть выражено через геометрическую характериастику этого элемента. В обшем виде эту связь можно записать так ,

где – обобщенный параметр, имеющий смысл нагрузки; – коэффициент, зависящий от геометрических параметров конструкции.

Конкретный вид этих параметров получаем в ходе решения детерминированной задачи о напряженно-деформированном состоянии конструкции. Так, в курсе сопротивления материалов представляет собой внутренний силовой фактор, а коэффициент – одну из геометрических характеристик поперечного сечения: при растяжении-сжатии и срезе он равен площади, при кручении и изгибе – соответствующим моментам сопротивления. Внутренний силовой фактор может быть выражен через внешние нагрузки методом сечения.

Тогда во всех расчетных формулах математическое ожидание и стандарт напряжения можно записать через вероятностные характеристики нагрузки и параметр сечения , .

Подставив их далее в формулы для надежности, получаем трансцендентные уравнения для определения параметра . Так, из выражения (4) получаем

,

где - заданная надежность.

Для проектного расчета полезно заранее построить графики зависимости надежности от параметра . Тогда по заданной надежности из графика определяется геометрическая характеристика, а по ней и конкретные размеры сечения.

Литература:

1. Бакиров Ж.Б. Вероятностные методы расчета элементов конструкций. КарГТУ, 2001. – 180с.