Математические задачи восстановления изображений в подповерхностной радиолокации. Замотайлов О.В. (г. Москва)

1. Актуальность

Вследствие бурного роста автомобилизации в России при практически постоянной протяженности дорожной сети многократно увеличились нагрузки на магистральную сеть дорог. Специалисты считают, что для выполнения качественных проектов ремонта автомобильных дорог необходимо иметь полное представление о геологическом строении основания дорожных сооружений. Традиционные методы при инженерно-геологических изысканиях – бурение скважин – явно недостаточны. В последнее время активно начинают использоваться приборы подповерхностной радиолокации – георадары.

Отметим, что помимо большого числа чисто технических проблем в георадиолокации имеет место и ряд нерешенных методических вопросов, связанных с обработкой и интерпретацией данных георадарного зондирования дорог. Одним из них является вопрос о влиянии конечного размера диаграммы направленности антенны (ДНА) георадара (несколько десятков градусов) на точность воспроизведения структуры подповерхностного разреза и встречающихся в нем малоразмерных («точечных») объектов.

«Дорожный пирог» представляет собой совокупность слоев, являющихся некоторыми функциями двух переменных. В данном докладе рассматривается промежуточная модель, представляющая собой линейчатую поверхность, перпендикулярное сечение которой, проходящее вдоль движения георадара – функция одной переменной (Рис. 1).

Рис. 1 Схема георадарного измерения

На Рис. 1 O – положение георадара, M – ближайшая точка, OK Ox, K –образ точки M.

2. Прямая и обратная задачи.

В докладе рассмотрены прямая и обратная задачи отображения математической модели «оригинал-образ». Прямая задача сводится к построению образа – границы известной при георадарной обработке и обратная задача – восстановление по образу .

2.1 Прямая задача при (угол ДНА).

Дана зависимость , являющаяся границей раздела слоев.

Математической моделью образа является нелинейное отображение , которое оригиналу границы ставит в соответствие ее изображение

Ошибка, т.е. отклонение точки оригинала от ее изображения:

Свойства:

1) Если оригинал – горизонтальная прямая, то и . Значит образ и оригинал совпадают в случае горизонтальных плоских слоев.

2) Пусть , . Тогда

3) Отображение G отрезок прямой переводит в отрезок прямой.

Пусть , тогда ,

2.2 Обратная задача при (угол ДНА).

Обозначим через образ отображения . Предположим, что - полученное изображение границы. Обратная задача состоит в том, чтобы восстановить оригинал

Учитывая отображение G, получим нелинейное дифференциальное уравнение

В частности, если - линейная функция, ,то уравнение имеет вид

Следовательно, справедливо следующее утверждение:

При существует единственная линейная функция, являющаяся решениями нелинейного ОДУ первого порядка.

2.3 Влияние ДНА, полученные результаты.

В частном случае, если угол ДНА = 0, то образ прямой полностью совпадает оригиналу.

Так как угол ДНА антенны георадара накладывает ограничения на поиск минимального расстояния, были разработаны и программно реализованы алгоритмы решения прямой и обратной задачи с учетом произвольного угла ДНА.

Алгоритм решения прямой задачи. Оригинал представляет собой графическое изображение, имеющее белый фон и массив пикселей черного цвета, расположенных в произвольных точках. В качестве параметров задается уровень антенны - горизонтальная прямая, совпадающая с траекторией движения георадара и угол ДНА. В каждой точке траектории антенны сектор ДНА попиксельно обрабатывается, последовательно записывая в массив расстояния от уровня антенны до границы раздела в каждой точке вхождения оригинала в сектор ДНА. После этого выбирается минимальное значение из этого массива. Данное расстояние откладывается на прямой, перпендикулярной траектории георадара. (Рис. 2) Для оценки точности построения образа, в каждой точке рассчитываются ошибки .

Рис. 2 Решение прямой задачи. Линейно-гиперболический сплайн.

Алгоритм решения обратной задачи основывается на следующих аспектах:

1) В частном случае, если образ является прямой, параллельной траектории георадара, то оригинальная поверхность совпадает с образом при любом угле ДНА.

2) Если образ располагается под постоянным углом к траектории антенны георадара, то оригинальная поверхность является прямой, пересекающей образ в точке его пересечения с траекторией антенны георадара. На рис.3 представлена схема решения обратной задачи для данного случая. Так как R – минимальное расстояние до оригинальной поверхности, то реальная точка оригинальной поверхности должна находиться на окружности радиуса R в пределах сектора ДНА антенны георадара. Минимальное расстояние от антенны георадара в точке A до оригинальной поверхности будет находиться в точке касания прямой, проходящей через точку пересечения оригинала и образа, окружности с радиусом R – точка B. (Рис. 3)

Рис. 3 Схема решения обратной задачи

Если данная точка находится внутри сектора ДНА, то она и является искомой точкой оригинальной поверхности.

Если данная точка находится вне сектора ДНА, тогда искомая точка оригинальной поверхности будет находиться на ребре сектора.

3) Для границы раздела произвольной формы, образ представляется в виде n прямых с постоянным шагом дискретизации. При этом обратная задача решается для каждой из n-прямых. Для данного алгоритма существует ограничение восстановления оригинала. Если участок на образе представляет собой переход из убывающей функции в возрастающую с углом φ, то на восстановление оригинала накладывается условие φ > (2π – α)/2, где α – угол ДНА. Для упрощения реализации алгоритма вводится предположение, что данное условие всегда истинно.

Пример решения обратной задачи и оценка точности алгоритма:

Рис. 4 Решение обратной задачи

Рассчитанная средняя разность расстояний от траектории георадара до образа оригинальной поверхности и образа восстановленного оригинала составила 0,65, что в задачах интерпретации георадиолокационных данных является допустимой погрешностью.

3. Литература.

1. Буслаев А.П., Егоров В.В., Поспелов П.И., Яшина М.В. Естественно-научные задачи применения приборов подповерхностной радиолокации для мониторинга автомобильных дорог – М: Вестник МАДИ, 2008, №1(12).

2. Буслаев А.П., Замотайлов А.В., Поспелов П.И., Яшина М.В. О восстановлении слоев дорожной одежды по данным подповерхностной радиолокации (ч.1) – М: Вестник МАДИ, 2009, №2(17).

3. Замотайлов О.В. Задачи распознавания изображений прибора подповерхностной радиолокации на базе мобильной дорожной лаборатории – М: T-COMM, 2010, №6