Щепановський В.В., Мельник П.В.

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Про максимальні ідеали в алгебрі неперервних функцій

Вступ

Робота використовує значну кількість тверджень, теорем, властивостей та результатів із математичного аналізу, алгебри та функціонального аналізу. Тому  спочатку наведемо основні з них.

 

Функцією (відображенням, трансформацією) f множини X в множину Y (позначається f : X → Y) називається така відповідність між множинами X та Y, яка задовольняє наступним умовам:

1.     Відповідність f всюди визначена, тобто, для будь-якого x з X існує такий y з Y, що x f y (y є образом x для функції f), тобто, для будь-якого x з X існує хоча б один образ y з Y.

2.     Відповідність f є відповідністю багато-до-одного, або функціональною, тобто, якщо x f y та x f z, то y = z, тобто, y може бути образом зразу декількох елементів з X, але один елемент x не може породжувати більше одного образа з Y.

Елемент y з Y, який відповідає елементові x з X позначається як f(x).

У курсовій роботі розглядаються функції дійсного аргумента, зокрема їх область визначення – відрізок [0, 1], значень – множина дійсних чисел.

Функція f називається неперервною в точці x0 якщо:

1.        функція f(x) визначена в точці x0.

2.        існує границя  Description: \lim_{x \to x_0}{f(x)}

3.        Description: \lim_{x \to x_0}{f(x)}=f(x_0) .

 

Функція неперервна в області, якщо вона неперервна в кожній точці цієї області. Клас функцій, неперервних на відрізку [0, 1] позначають С [0, 1].

Власне, саме такі функції розглядаються у роботі.

 

Простір усіх неперервних на [0, 1] функцій має такі властивості:

1.     Лінійний, тобто для довільних дійсних a, b та f, g із заданого простору, a f + b g – також буде неперервною на  [0, 1] функцією.

2.     Нормований з нормою:  

3.     Сепарабельний – зліченною скрізь щільною множиною в ньому є множина алгебраїчних многочленів з раціональними коефіцієнтами. Даний результат випливає з апроксимаційної теореми Веєрштрасса.

4.     Повний згідно теореми Коші для функціональних рядів функцій дійсного аргумента.

 

 

Опис максимальних ідеалів в алгебрі неперервних функцій

Довести: М – деякий максимальний ідеал. Тоді існує число а із відрізку від 0 до 1 таке, що М = Ма = {f | f( a) = 0, f є C[0, 1]}.

Доведення:

 

Введемо Null( f ) = {tє[0,1]| f( t) = 0}.

 

Нехай М не є підмножиною Ма для жодного можливого а.

Тоді для довільного а можна взяти деяку функцію f, що належить М, але не належить Ма.  Перетин Null() від усіх таких функцій – порожній.

А оскільки [0,1] – компакт, то як наслідок теореми Бореля-Лебега, буде існувати скінченна кількість функцій, перетин Null() від яких – порожній.

 

Введемо функцію Ф(t), яка дорівнюватиме сумі квадратів цих функцій.

Null(Ф(t)) – порожній. Очевидно, що Ф – належить ідеалу. 

Також Ф(t)>0, tє[0,1]. Тому 1/Ф – теж неперервна функція.

Їх добуток дорівнює 1, отже 1 належить ідеалу. Тоді добуток довільної непевної функції на 1, а отже і сама функція буде належати ідеалу. Тобто ідеал буде збігатися з C[0,1]. Отже припущення було не вірним, тому М є підмножиною Ма, а з того, що Ма не збігається з усім простором та з означення максимального ідеалу отримуємо рівність М та Ма, що і потрібно було довести.

 

Опис замкнених ідеалів в алгебрі неперервних функцій

Довести: Для довільного замкненого ідеалу I існує породжений ідеал Iy, такий що y – замкнена підмножина відрізку [0,1], та I = Iy.

 

Доведення:

 

Null(I) = {x| f(x) = 0 для довільного f із ідеалу}

Оберемо деяку послідовність елементів із Null(I), що збігається до х.

Оскільки функції неперервні, то значення функції в цих точках буде збігатися до значення у граничній точці. А з того, що функція приймає на них значення 0 випливає належність граничної точки множині нулів ідеалу.

Отже Null(I) – замкнена множина.

Запишемо породжений ідеал:

I* = {f є C[0,1] | f(t) = 0, для довільних t із Null(I) }.

За побудовою I – підмножина І*.

 

 

Для деякого відрізку [a,b] побудуємо послідовність функцій

 

F(n, [a, b], t) =      0, якщо t із [a, b];

                            Min(1, (t-b)n ) , t>b;

                            Min(1, (a-t)n ) , t<a.

 

Для об’єднання двох відрізків будемо брати мінімум їх функцій.

Використовуючи відповідні властивості структури замкненої множини на відрізку від 0 до 1 – для  Null(I) можемо побудувати послідовність неперервних функцій із заданого ідеалу, що збігаються до індикатора.

 

Тоді добуток довільної функції із породженого ідеалу  із функціями з послідовності буде збігатися до неї ж. А скільки добуток буде належати ідеалу, то і границя теж, тобто I* - підмножина І.

Використовуючи попередні результати, бачимо, що І = І*, причому І* і є шуканим ідеалом Iy, тому І = Іy, що і потрібно було довести.

Список використаної літератури

1.     Ван Дер Варден Б.Л. Алгебра. — С. 623, Москва: Наука, 1975. ISBN 5-8114-0552-9.

2.     Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976.

3.     Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов. М.: Факториал, 1997. 336с. ISBN 5-88688-016-X