Г.А. Дүйсенова

Қ.А.Ясауи атындағы ХҚТУ-нің оқытушысы, Түркістан қаласы, Қазақстан

 

Л.Т. Құрбаналиев

физика-математика ғылымдарының кандидаты,

Қ.А.Ясауи атындағы ХҚТУ-нің аға оқытушысы, Түркістан қаласы, Қазақстан

 

 

Ұсақ кеуекті сұйықтықпен қаныққан орта теңдеулер жүйесі

 

Ұсақ кеуекті сұйықтықпен қаныққан, қатты және сұйық фазалар үшін тәуелсіз анықтаушы айнымалылар мына заңдылыққа жазылады [1]:

,    . 

Бұл заңдылық екі фазалы сұйықтықпен қаныққан орталар қозғалысы жалпы теңдеулер жүйесінің дербес жағдайы болып табылады.

Анықтаушы теңдеулерден және энтропиядар теңсіздігінен кернеулер үшін, дербес туындылы дифференциалды теңдеулер жүйесін аламыз [2]:

Жүйеден мына шартты аламыз:

Теориялық және эксперименталдық жұмыстар нәтижелерін ескеріп, еркін энергия функционалын мына көріністе жазамыз:

                     (1)

Енгізілген еркін энергия функционалының негізгі ерекшілігі, квадараттық мүше коэффициенттері қатты және сұйық құраушылардың функциялары болып, кез келген  мен , мәндерінің оң болуы үшін шарттар қояды. Бұл жағдайда, қатты және сұйық құраушылар үшін кернеулер былайша анықталады:

 

Осылайша күш моменті үшін өрнектер аламыз:

                                                              (2)

                                                                               (3)

Айталық  болсын, бұл жағдайда Лагранж көбейткіштері (3) анықталады. Кейбір түрлендірулерді орындап масса және фазалық өтулер болмағандағы сұйықтықпен қаныққан ұсақ кеуекті ортада импульспен момент теңдеулерін аламыз:

,

                                                  (4)

мұндағы

(4)теңдеулер жүйесі, сұйықтықпен қаныққан ұсақ кеуекті теңдеулер жүйесінің жалпы көрінісі. Еркін энергия квадраттық функция мүшелер коэффициенттері (1) тұрақты, яғни  мен  тәуелсіз. Бұл жағдайда (4) қатынастар келіп шығады [3]:

                                                         (5)

Айталық  болсын, бұл жағдайда М.А.Био [5] ұсынған теңдеулер жүйесі келіп шығады. Егер сұйықтық болмаса, (4) теңдеулер жүйесі құрғақ ұсақ кеуекті орта теңдеулер жүйесіне айналады.

Егер сұйықтық үшін  теңдік орынды болса, бұл шектеу сұйықтық таралуындағы микроструктура эффекті өте төмен болған жағдайына сәйкес келеді. Бұл жағдайда Лагранж көбейткіштерін айқын түрде анықтаймыз:

 

                                                                                                       (6)                                                               

Сұйықтықтың термодинамикалық қысым теңдеуіне (6) өрнекті қойып,кейбір қатынастарды ескеріп, негізгі қозғалыс теңдеулерді векторлық көріністе аламыз:

(                                                                               (7)      

                                                                                         (8)

                                                                                                                                                  (9)                                                                                               

мұндағы       

(7)- (9) теңдеулер жүйелерінің дербес жағдайларын қарастырамыз.

А жағдай. Ұсақ кеуектілік (қатты көлемнің тұрақты бөлімі) және қысым Ртер тұрақты болған жағдай үшін, теңдеулер

             (             (10)

                                                        

                    (                    (11)

(10) мен (11) теңдеулер, [3] еңбектерде келтірілген ұсақ кеуекті орта қозғалыс теңдеулеріне ұқсас.

Б жағдай. Айнымалы ұсақ кеуектілік есекерілген құрғақ ұсақ кеуекті орта қозғалыс теңдеуін, жоғарыда келтірілген теңдеулер жүйелерінен алуға болады. Оның үшін сұйықтыққа қатысты эффектті мүшелерді нолге тең деп болжам жасаймыз, яғни:

Демек (6) теңдеуден нәтижеде мынаны аламыз:

                                      (12)

                                                       (13)

(12), (13), (11) теңдеулер бірге бес  және   (i = 1,3) құрғақ ұқсас кеуек орта айнымалыларын анықтайтын бес теңдеулері болған жүйені құрайды. Кеуектілік тұрақты болған жағдайда,  Ляме теңдеуін аламыз:

                                                                            (14)

 

В жағдай. Орта арқылы кез келген кеуектілік пен жабысқақтылығы болған сұйықтық ағып өтуінде, қатты кеуекті орта қатты болса, онда сұйықтық тығыздығы   тұрақты болып, (7), (8) теңдеулер мына көрініске келеді:

                                                                                                                               (15)

                                                                                      (16)

 

мұндағы =,  және ішкі күштер нолге тең деп болжам жасалады. (15), (16) теңдеулер кеуекті орта ағымы үшін Брикман теңдеулері болады [8]. Баяу қозғалыс және сұйық жылдамдығының кеңістік вариацисы үлкен болмаған жағдайда, (15) теңдеу Дарси классикалық заңын сипаттайды, яғни

 

мұндағы   - орта өткізгіштігі.

 

 

 

 

 

ӘДЕБИЕТТЕР

 

1.     Aki K., Lamer L.K. Surface motion of a layered medium having an irregular interface due to incident plane SH waves. J. Geophs. Hes.,  1970,  75, №5, С.933-954.

2.     Ang D.D. Transient motion of a line load and the surface on an elastic half space. J. Quarty of Appl. Mathe­matics,  1960,  18,  с.251-256.

3.     Biot II.A. Theory of stress-strain relations in anisotropic viscoelasticity and relaxation phenomena. J. Appl. Phys.,  1954,  25,  11,  с.1385-1391.

4.     Derski W. Equations of motion for a  fluid-saturated porous solid. Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Techn.. 1978, 26, H1,  с.11-16.

5.     Miller U.S., Pursey H. On the partition of energy between elastic wave in semiinfinite solid. Proc. Roy. Soc. bond. A,  1955, 333, N1191,  с.55-69.

6.     Био М.А. Механика деформирования и распространения акустических волн в пористой среде // Механика, сб. переводов и обзоров иностранной периодической литературы. М.: ИЛ, 1963, № 6, с.103-135.

7.     Николаевский   В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. - М.: Недра, 1984. 232с.

8.     Николаевский В.Н. и др. Механика насыщенных пористых сред. - М.: Недра, 1970. 355с.