УДК 62 – 192

 

                     Методи структурного аналізу в теорії механізмів і машин

                                                      

                                           Шебанов О.Г. к.т.н., Шебанова В.І.

 

                           (Харківський національний технічний університет

                             сільського господарства імені Петра Василенка)

 

     В статті в історичному аспекті представлені різні підходи до визначення структурних формул механізмів, висвітлені додатні та від’ємні риси кожного з існуючих в світовій практиці методів ТММ.

 

 

     Кожний студентський проект з ТММ починається з структурного аналізу заданої схеми механізму.

      Важливість грамотного виконання структурного аналізу полягає не тільки в академічній площині  , а має суттєве наукове та практичне значення.

     Так , невисока надійність багатьох вітчизняних сільськогосподарських машин (важкі дискові борони, трактори Т-150, квадратно-гніздові сівалки) в значній мірі пояснюється нераціональною структурою, наявністю зайвих в’язів, які виявляються пасивними , обмежуючи переміщення ланок механізму.

     Незадовільна структура механізму приводить до  таких навантажень в окремих кінематичних парах, які значно перевищують граничні і приводять до руйнації механізмів.

     Основою ефективного структурного аналізу є правильно побудовані структурні формули механізму.

      Різниця в підходах до оцінки в’язів, накладених на відносний рух ланок , обумовила значну кількість варіацій структурних формул в теорії механізмів та машин. В ряді випадків структурні формули базуються лише на геометричних в’язах, в інших враховуються фізичні властивості в’язів.

      Розпочинаючи опанування курсу ТММ і втілення його основних положень в курсовий проект, студенту було б не зайвим познайомитись з різними поглядами на формування структурних формул механізмів.

 

     Перші спроби вивести структурні формули були  здійснені спочатку  в Німеччині , відтак у Франції. Напочатку 1874 року видатний німецький вчений Отто Мор [1] і наприкінці цього ж року французький вчений М.Леві [2]  знайшли залежність між кількістю стрижнів та шарнірів в статично-визначених фермах  (для ланцюгів з нульовим ступенем змінності).

  

      У 1880 році німецький вчений Л.Бурместер [3] представив формулу , яка для систем зі ступенем вільності одиниця встановлювала співвідношення між кількістю рухомих ланок механізму m та кількістю рухомих шарнірів n  і

 

 

2

кількістю нерухомих шарнірів v:

 

                                           3m - 2(n+v) =1.                                                (1)

                                                                                                                                   

     Згодом ця формула з’являється в роботі П.Л. Чебишева [4].

     За радянських часів цю формулу, під назвою формула Чебишева П.Л., перетворили до вигляду:

 

                                          W= 3 (n - 1) – 2p1 – p2.                                      (2)  

                                                       

     До складу формули,  в кількість обертальних та поступальних кінематичних пар включили пари,  які утворені як з’єднанням рухомих ланок між собою так і зі стійкою.                                                                                                                                

       С.Н.Кожевніков в роботі [ 5] прямо вказує,  що формула Чебишева П.Л. і в

ії сучасному вигляді не відображає усіх структурних особливостей кінематичних ланцюгів.

       Значний внесок в розвиток структурного аналізу механізмів зробив німецький вчений М.Грюблер [6].  У 1883 році він встановлює залежність між кількістю ланок і кількістю кінематичних пар.

      М.Грюблер вперше в механіці формулює критерії змінності , статичної визначності і невизначності і вводить розподіл ланок по кількості кінематичних пар, які входять до його складу.

      Формули М.Грюблера побудовані на  алгебраїчних залежностях між кількістю ланок  і кінематичних пар і мають вигляд для ланцюга з одним ступенем змінності , який при заміні однієї із ланок  на стійку перетворюється

у механізм:

                          2p – 4 = ( 2i – 3 ) ni  ,       v ≥ 2 ;                            (3)

 

 де  p –загальна кількість однорухомих пар, або циліндричних шарнірів;

       i  –кількість ланок, з якими дана ланка входить у склад кінематичних пар;

       ni –кількість  i-парних ланок.

 

      Щодо  ланцюгів, які мають прості шарніри ( в яких стикуються дві ланки) М.Грюблер  знаходить співвідношення між загальною кількістю ланок і кількістю  ni –  i-парних ланок.

 

                                                  Σni  =  n ;                                               (4)

 

                                             Σini  = 3n – 4 .                                            (5)

 

     

 

3

      Л.В.Асур в роботі [7]  визначає,  що метод М.Грюблера уявляє собою значний крок вперед  і є основою сучасного структурного аналізу не тільки площинних , а і просторових механізмів.

      Метод М. Грюблера  використал  у своїх дослідженнях Баранов Г.Г. [8]

 для побудови  статично - визначених кінематичних груп.                                                                          

      Спираючись на метод М.Грюблера , російський вчений П.О. Сомов  знаходить кількість ланок складового багато контурного ланцюга, який                                                                                                                               перетворюється у механізм зі ступенем вільності  1 , шляхом закріплення однієї з ланок [9].   П.О. Сомов визначає ступінь вільності як:

 

                                               Wn  = n – μ ,                                             (6)

 

де  n – кількість ланок одноконтурного замкненого кінематичного ланцюга;

      μ – ступінь вільності ланцюга у вільному стані.

                                                                                                                                

    Наприкінці 19 століття  Х. Гохман [10]  пропонує знаходити кількість рухомостей - вільних параметрів руху ланцюга, за формулою :

 

                                            Wi  = 6 ( ni – 1 ) - Si ,                                    (7)

 

де  ni  -  кількість ланок відкритого ланцюга

      Si   -  загальна кількість незалежних в’язів,  накладених при утворенні кінематичних пар.

      Процес визначення оптимальних структурних формул механізмів набуває свого подальшого розвитку в радянський період.

      У 1929 році  А.П.Малишев представляє формулу ступеню вільності механізму, розглядаючи  не тіла, а точки, які визначають положення тіл на площині та у просторі.  Враховуючи, що положення кожного тіла у просторі фіксується трьома координатами,  визначення положень  n – 1 рухомих

 ланок потребує  9 ( n – 1 ) координат [11] .

      Малишев А.П.  для кожної ланки формує три рівняння з незмінними відстанями між трьома координатними точками, утворюючи за рахунок рухомого з’єднання кінематичні пари з першого по п’ятий класи.    

     Якщо механізм має одну ступінь вільності,  повинна виконуватись рівність:

 

            9 ( n – 1 ) = 3 ( n – 1) + 5 m5 + 4 m4 + 3 m3 + 2 m2 + m1 + 1,       (8)

або

                      6 ( n – 1) = 5 m5 + 4 m4 + 3 m3 + 2 m2 + m1 + 1,                  (9)

 

де     m1, m2 , m3 ,  m4 , m5  - кінематичні пари  1-го - 5-го класу відповідно.

     Малишев А.П. зазначає, що у механізмі можуть бути повторні або зникаючі

умови в’язів , обумовленні змінністю ланок.

 Формулу Малишева А.П., з визначення ступеню вільності , у підручниках з

 

4

ТММ, найбільш частіше приводять у вигляді:

 

           W =  6 ( n – 1) – ( 5 p1 + 4 p2 + 3 p3 + 2 p2 + p1 ) + q + p,             (10)

 

 де     q -  кількість повторних умов в’язів, відображених тотожними

                рівняннями;                                                                                                                                     

           p -  кількість зникаючих умов в’язів;    m5 = p1……m1 = p5.                                                                                                                                                                                                                                            

                   

      Слід зазначити, що в даному вигляді формула А.П. Малишева не подібна формулі  П.О. Сомова. Шануючи внесок  зроблений П.О. Сомовим  в структурний аналіз, радянські вчені вводячи ряд припущень, показали можливість переходу від формули П.О. Сомова до формули А.П. Малишева.      

      Саме за цих обставин дана структурна формула отримала назву формула Сомова-Малишева.

     В 1951 році в роботі [12] В.В. Добровольский  вводить гіпотезу - на ланки механізму накладені загальні в’язі ще до з’єднання їх у кінематичні пари,                                                                                                                                  

в наслідок цього кожна ланка буде мати m  6 ступенів вільності, а система n рухомих ланок буде  наділена  mn  ступенем вільності, частина яких знищується під час з’єднання ланок  у кінематичні пари.

       В.В. Добровольский вводячи параметр рухомості – k , визначає кількість умов в’язів, накладених на кінематичні пари як  m -  k. При цьому кількість ступенів вільності обумовлюється різницею кількості ступенів вільності непов’язаних тіл і загальною кількістю умов в’язів:

                              W = mn –( m – k ) pk ;                            (11)   

      Величина  m – 1 розглядається як критерий роду механізму. Так,  просторові механізми, які мають m = 6 віднесені до п’ятого роду; площинні, які містять в своєму складі як поступальні, так і обертальні кінематичні пари - до другого роду; а площинні, які складаються виключно з поступальних кінематичних пар –до першого роду.

      Кількість рухомостей  k  кінематичних пар  механізмів кожного роду не повинно бути більше ніж  k = m – 1.

      Враховуючи що у механізмі можуть існувати пасивні в’язі , формула ступенів вільності перетвориться до виду:

 

                            W = mn –( m – k ) pk +  s;                       (12)

      Вказані пасивні в’язи , які є загальними для усіх ланок, В.В. Добровольским названі родовими. В’язі, які обумовлені індивідуальною структурою механізму отримали назву-індивідуальні ( внутріродові ). До цих в’язів відносять зайві

стрижені, які знаходяться на постійній відстані один від одного і пов’язують точки різних ланок.

      5

      Кількість родових в’язів для просторових механізмів В. В. Добровольский визначає як:

                                 S = ( 6 – m ) (pk – n ) ;                              (13)

     Для площинного механізму, в якому відсутні індивідуальні в’язі, за умови                                                                                                                     

m = 3, остання формула перетворюється до виду:

                                     S = 3 (pk – n) .                                       (14)

                                                                                                                                

      Формули В.В. Добровольського добре описують геометрію руху простих механізмів.

    

      У 1960 році М.І.Колчиним [13] представлена розширена структурна класифікація механізмів.

      М.І.Колчин враховуючи загальні в’язи в механізмах, виклав структурну формулу для різних родин.

Так , структурна формула для υ-ої родини має вигляд:

 

                              W = 6 (n – 1) – (6 - i  )  pi – υ (n -  1) + υ pi ,    (15)

 

де: υ = 0,1,2,…-кількість загальних в’язів;

      i – кількість рухливостей  кінематичної пари.

 

     Окрім нового підходу до структурних формул, М.І. Колчин пропонує нову класифікацію механізмів, поклавши в основу характеристичні числа υ , які визначають родину механізму та залежність 6 – q / k , яка обумовлює род або вид механізму. Під q мається на увазі кількість пасивних в’язів, під k – кількість контурів.

     

Розгляд існуючих , найбільш розповсюджених , структурних формул завершимо формулою латишського вченого О.Г. Озола.

         О.Г. Озол в роботі [14]  представляє формулу, побудовану на розрахунку кількості ступенів вільності  , які залишились після послідовного замикання гілки відкритого кінематичного ланцюга, в результаті якого можливо внесення деякої кількості пасивних в’язів q.

      Якщо у простого відкритого ланцюга загальна кількість рухомостей в кінематичних парах складає :

                                           f1 = fa1 + fb1 + fc1 + … + fg1  ,                                   (16)

                                                                                                              

      

6

       і за умови замикання на стійку додається  6 – fh1 – q1 обмежень , то ступінь вільності після замикання дорівнює:

 

                                                     W = f1 – 6 + q1.                                             (17)  

       Якщо в наявності дві гілки і до замикання другої гілки кількість рухомостей складала :

                                            f2 = fa2 + fb2 + fc2 + … + fg2  ,                                  (18)

                                                                                                                            

 і  додавались 6 – fh2 – q2   в’язів , при чому q2  - пасивні, то ступінь вільності двох-контурного ланцюга становить:

 

                                             W = f1  + f2 –  2·6 + q1 + q2.                                  (19)

                                                                                       

      Коли ланцюг має k контурів, ступінь вільності, після замикання усіх гілок визначатиметься як:

                                              W = f – 6k + qi  = f – 6k + q .                      (20)

 

     Новизна формули Озола у порівнянні з формулой Гохмана полягає в наявності  qi .                                                                                                                                 

     Озол вважає на наявність у механізму  дійсної або умовної нерухомої стійки, підкреслює збереження відносних переміщень його ведених ланок при заданому русі ведучих.                                     

      Озол вводить для сільськогосподарських та транспортних машин  ( машин з рухомою станиною ) поняття - баланс рухомостей, представляючи його у вигляді:                                                                                                                                                           

                           6 ( n – ξ ) = c + b + d + Sk – q – Wа  ,                                                               (21)

 

де  ξ – показник рухомості основи; якщо ξ = 1 – станина нерухома; якщо ξ = 0 – 

           станина рухома;

      с – кількість основних рухомостей, дорівнює кількості незалежних  

            узагальнених координат;

      b – кількість додаткових рухомостей, включаючи рухомості плаваючих    

            ланок;

      d -  кількість динамічних в’язів;

      sk  - сума кількості внутрішніх та зовнішніх кінематичних в’язів;

      q -  зменшення рухомостей зовнішніх тіл, обумовлених дією зовнішніх та

             внутрішніх повторних в’язів;

     Wa  - зменшення рухомостей зовнішніх тіл, обумовлених дією зовнішніх

             в’язів.

   

7

     Називаючи суму c + b + d   робочою рухомістю, Озол  визначає q через параметри системи:

 

                                 q = Wроб. + sk – 6 ( n – ξ ) – Wa  .                                  (22)

 

    У сільськогосподарських машин зовнішні в’язі частіше неголономні. Тому, якщо nq  - кількість незалежних узагальнених координат  , то ступінь вільності системи, на яку впливають зовнішні неголономні в’язі – sн.зовн., можно                                                                                                                              

висловити рівнянням:                                                                   

 

                                    W = nq - sн.зовн + q н.зовн..                                             (23)

 

    Формули (21) та (23) дозволяють для сільськогосподарських та транспортних машин встановити наявність повторних зовнішніх в’язів. Це дає змогу винайти конструктивні заходи по їх усуненню і забезпеченню параметричної надійності

агрегатів та вузлів машин.

 

 

                                                                                                                                     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                       8

Перелік використаної літератури

 

1.     Mohr O.-Z.Arch. und Ingen. Vereines zu Hannover, 1874, 20, S.509.

2.     Levy M.-La statique grafique. Paris, 1874, p.50, 93-95.

3.     Burmester L. Über die momentane Bewegung ebener kinematischen Ketten.-

     Civiling, 1880, 29, S.167-200.

4.     Чебышев П.Л. О параллелограммах. - Полн. собр. соч. Т.4. Теория  

     механизмов.М.:Изд-во АН СССР, 1948, с.16-36.

5.     Кожевников С.Н. О пространственніх группах наслоения.-Прикл.   

          механика, 1977, 13, вып.6, с.60.

6.     Grübler M.  Allgemeine Eigenschaften für zwangläufigen ebenen

     kinematischen Ketten.-Civiling, 1883 ,29. S.167-200.

7.     Ассур Л.В. Исследование плоских стержневых механизмов с низшими

     параметрами с точки зрения их структуры и классификации, -М.: Изд-во  

     АН СССР, 1952, с.16.

8.     Баранов Г.Г. Классификация, строение, кинематика и кинетостатика  

     механизмов с парами первого рода.- Тр. Семинара по теории машин и

     механизмов. 1952, 2, вып. 46, с.15-39.

     9.  Сомов П.О. Основание теоретической механіки.- Спб. :Риккер,1904.753с.

   10.  Гохман Х. Основи познавания и созидания пар и механизмов :

          Кинематика машин.-Одесса, 1890.-т.1.298 с.

11.     Малышев А.П. Анализ и синтез механизмов с точки зрения их

       структуры.-  Изв. Том. технол. ин-та; Вып.44 ,Томск, 1929.-78 с.

12.     Добровольский В.В.Теория механизмов.- М .: Машгиз,1951.-467 с.

13.     Колчин Н.И. ( Опыт построения расширенной структурной классификации механизмов и основанной на ней структурной таблицы механизмов.-В кн: Анализ и синтез механизмов. М.: Машгиз, 1960,

       с.85-97.- ( Тр. Второго Всесоюз. совещ. по основным пробл. теории   

       машин и механизмов).

14.     Озол О.Г. Новая структурная формула механизмов и ее теоретическое и

       практическое значение.- Тр. Латв. с.-х. акад.,1962, вып.11, с.113 – 129.

 

 

 

                                                    Аннотация

     

             Методы структурного анализа в теории механизмов и машин

 

      В статье в историческом аспекте представлены различные подходы к определению структурных формул механизмов, освещены положительные и отрицательные черты каждого из существующих в мировой практике ТММ методов. 

 

 

9

                                                      Annotation

 

    The methods of structural analysis in the theory of mechanisms and machines

 

The article has been represented the different ways of structural formulas of mechanisms definition in historical aspect , the positive and negative characteristics  of each existed of TMM world practice methods have been displayed.