Моделирование рабочего процесса ротационного рабочего органа

Оразалиев Б.Т.- кандидат технических наук

Основной задачей нашего исследования является оптимизация параметров режущего аппарата (окружной скорости V₀, поступательной скорости V_п и угла защемления режущей пары χ) с целью минимизации осыпаемости семян К₀. Решение поставленной задачи получено методами планирования многофакторных экспериментов, статистической обработки опытных данных и поисковой оптимизации. Для этого были отобраны параметр оптимизации и наиболее значимые факторы, влияющие на процесс осыпаемости семян К₀; определен план проведения экспериментальных исследований, и на базе полученных опытных данных разработана математическая модель, на которой исследовалось влияние регулируемых факторов на выходной параметр процесса в стационарной области факторного пространства.

Параметры режущего аппарата и выбранные уровни их варьирования в лабораторных экспериментах приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Регулируемые параметры режущего аппарата и уровни их варьирования в лабораторных экспериментах

Регулируемые параметры: кодированные (натуральные)	Кодированные уровни			Интервал варьирования
	–1	0	+1
x1 – окружная скорость режущего аппарата (V0, м/с)	8,4	12,6	16,8	4,2
x2 – поступательная скорость (Vп, м/с)	0,1	0,2	0,3	0,1
x3 – угол защемления режущей пары (χ, град.)	25	35	45	10

При применении методов планирования экспериментов вводится стандартизованный масштаб (кодированных переменных) позволяет оценить сравнительное влияние каждого параметра на величину осыпаемости семян.

Лабораторное исследование процесса осыпаемости семян проводилось по схеме трехфакторного планирования экспериментов. Полученные в лабораторных экспериментах данные представлены в файле Lab системы STATISTICА 7.0 (Lab.sta). Выбранный на [1] план № 35 Бокса-Бенкина (Box-Behnken) является симметричным, трехуровневым и почти ротатабельным. Он также генерируется модулем Планирование эксперимента программы STATISTICА 7.0 (Statistics → Industrial Statistics&Six Sigma → Experimental Design (DOE) → 3 (K-p) and Box-Behnken designs). Стандартный план Бокса-Бенкина (3 factor Box-Behnken design, 1 block , 15 runs: 3/1/15 – 3 фактора, 1 блок, 15 опытов) и результаты эксперимента, полученные при его трехкратной повторности после рандомизации плана.

Для получения математической модели процесса осыпаемости семян были реализованы три повторности плана Бокса-Бенкина. В табличной форме привводится матрица планирования факторного эксперимента в стандартной форме и после её рандомизации, а также усредненные значения крутящего момента на валу рабочего органа Т_кр (Н·м) и осыпаемости семян К₀ (%) по трем (n = 3) параллельным определениям.

Трехфакторный план проведения экспериментов Бокса-Бенкина, интерпретируется следующим образом. Каждый столбец содержит +1 или –1 для обозначения уровня соответствующего параметра режущего аппарата (верхнего или нижнего, соответственно). План содержит 3 центральные точки (0; 0; 0). Общее число экспериментов N = 15.

Как следует из данных, условия проведения эксперимента по изучению осыпаемости семян изменяются от опыта к опыту, и чтобы не возникали систематические смещения, порядок их проведения надо было сделать случайным. Для этого, используя модуль планирование эксперимента программы Statistica 7.0, проведена их рандомизация. В правой части таблицы приведён случайный порядок проведения опытов и значения крутящего момента на валу рабочего органа Т_кр и осыпаемости семян К₀, усредненные по трем измерениям, которые получены после рандомизации и постановки лабораторных опытов.

Следует отметить, что среднее значение зависимой переменной К₀ в центре плана (в точках (0; 0; 0) – опыты 13, 14 и 15), равное 16,3%, значительно отличается от общего среднего (21,1%) по всем остальным точкам плана. Это является основанием считать, что простое предположение о линейности связи факторов с зависимой переменной К₀ не выполняется, и при разработке математического описания показателя осыпаемости семян необходимо учесть отмеченную нелинейность процесса.

Правильный выбор вида функциональной зависимости

К₀ = f (β; V₀, V_п, χ), (1)

связывающей отклик К₀ – осыпаемость семян и регулируемые параметры режущего аппарата (окружную скорость V₀, поступательную скорость V_п и угол защемления режущей пары χ), имеет решающее значение. В уравнении (4.1) параметр β – вектор неизвестных коэффициентов, которые следует определить по исходным экспериментальным данным. При этом важно выбрать функцию f(β; V₀, V_п, χ) так, чтобы она не просто хорошо описывала исследуемую взаимосвязь, но и имела физический смысл.

Рассчитав на базе экспериментальных данных эмпирическую зависимость (1) и оценив её адекватность, решается задача обоснования оптимальных параметров режущего аппарата V₀, V_п, χ.

Приняв в качестве целевой функции осыпаемость семян К₀, требовалось определить такие значения параметров V₀, V_п, χ из области факторного пространства, при которых величина К₀ имеет минимальное значение, т.е. решить следующую оптимизационную задачу:

найти минимум осыпаемости семян К₀ (%)

К₀ = К₀ (β; V₀, V_п, χ) → min, (2)

при двусторонних ограничениях на параметры режущего аппарата

(3)

и при условии, что крутящий момент на валу рабочего органа Т_кр (Н·м) не превышает заданного значения:

Т_кр = Т_кр (β; V₀, V_п, χ) ≤ . (4)

В поставленной задаче в неравенствах (3) через min и max обозначены наименьшее и наибольшее допустимые значения соответствующего параметра, принятые при лабораторном исследовании.

Основным аппаратом построения целевой функции (1) и расчета зависимости для крутящего момента на валу рабочего органа Т_кр (4) является многомерный регрессионный анализ.

Предпосылки успешного применения регрессионных методов в моделировании процесса осыпаемости семян состоят в следующем:

– при каждом фиксированном значении аргументов остаточная случайная величина (регрессионные остатки зависимой переменной – функции отклика) должна быть распределена нормально;

– при каждом фиксированном значении аргументов условная дисперсия должна быть либо постоянна, либо пропорциональна известной функции аргументов;

– результаты отдельных измерений функции оклика (осыпаемости семян и др.) представляют собой независимые случайные величины. Иными словами, результаты последовательного ряда наблюдений должны быть независимы друг от друга, т.е. результаты предыдущих наблюдений не должны влиять на результаты последующих;

– ошибки измерения регулируемых параметров (показателей, принятых в качестве аргументов), должны быть малы по сравнению с ошибками измерения контролируемой зависимой переменной – осыпаемости семян К₀.

Вначале проведем одномерный статистический анализ и охарактеризуем полученную совокупность экспериментальных данных. Для этого были рассчитаны статистические характеристики всех основных показателей процесса осыпаемости семян.

По данным эксперимента для каждого показателя и параметра режущего аппарата оценены: среднее М и ошибка средней m, медиана (med) и мода (mod), стандартное (среднеквадратическое) отклонение s и дисперсия s², наименьшее (min – минимум) и наибольшее (max – максимум) значения, размах R, стандартизованные показатели асимметрии А и эксцесса Е, коэффициент вариации V. Эти статистические характеристики дают количественное представление об эмпирических данных (о положении среднего значения осыпаемости семян, его рассеянии – разбросе, асимметрии) и в первом приближении проверяют предположения, лежащие в основе регрессионного анализа.

Как следует из полученной основной статистической характеристики крутящего момента на валу рабочего органа Т_кр (Н·м) и осыпаемости семян К₀ (%), стандартные ошибки составляют 1,7 % для крутящего момента на валу рабочего органа Т_кр и 10,5% для осыпаемости семян К₀ от соответствующих средних значений. Наблюдается примерное равенство среднего, моды и медианы: 18,8; 18,7 и 18,7 для крутящего момента Т_кр и 20,1; 20,0 и 20,0 для осыпаемости К₀. Все значения эксцесса и асимметрии и по абсолютной величине не превышают 1,6; минимальное и максимальное значения примерно равноудалены от среднего. Коэффициенты вариации составляет 6,6 % для Т_кр и 40,5% для К₀.

Стандартные методы анализа и визуализации полученных в лабораторных условиях экспериментальных данных позволяют лучше представить природу исследуемого процесса осыпаемости семян.

Используя модуль «Подгонка распределений» системы STATISTICA и статистические графики, были построены частотные распределения (кумулятивные гистограммы) и сглаженные интегральные кривые для нормального закона, а также рассчитаны критерии согласия Колмогорова-Смирнова D и Шапиро-Уилка SW-W, которые приводятся для крутящего момента на валу рабочего органа Т_кр и для осыпаемости семян К₀.

Как видно из полученной гистограммы, частотное распределение для крутящего момента на валу рабочего органа Т_кр схоже с интегральной кривой стандартного нормального распределения. Это распределение является основным в математической статистике и, согласно теореме Гаусса, должно быть справедливо для исследуемых показателей уже в силу того, что они представляют собой результат суммарного воздействия большого числа независимых случайных факторов.

Из кумулятивной гистограммы следует, что 87% наблюдений крутящего момента на валу рабочего органа Т_кр в лабораторных экспериментах не превышают порога в 20 Н·м, и только у 13% крутящий момент меньше 22 Н·м.
Величина осыпаемости семян К₀ в лабораторных экспериментах не превосходит 30% в 87% наблюдений, и лишь 13% случаев осыпаемости лежат в пределах от 30 до 35%.

По приведенным значениям критериев D и SW-W проверяется соответствие опытных данных и их эмпирических распределений нормальному или обобщенно-нормальному закону. Отклонение от нормального распределения является существенным, когда вероятность ошибки отклонить справедливую гипотезу о нормальности распределения является незначимой. Поэтому в нашем случае эмпирические распределения достаточно хорошо (с вероятностью 0,9) подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, выполнение требований для успешного регрессионного моделирования процесса осыпаемости семян, в основном, предопределено выбранным планом и постановкой эксперимента. Например, рандомизация проведения опытов исключает влияние предыдущих наблюдений на последующие и обеспечивает корректность применяемых методов регрессии. Незначительные отклонения от нормального распределения не оказывают большого влияния на стандартные процедуры регрессионного анализа.

В общем случае квадратичная модель регрессии второго порядка от p кодированных переменных x₁,…,х_p имеет следующий вид:

. (5)

В уравнении квадратичной регрессии (5) присутствуют линейные (главные) эффекты x₁,…,х_p.Члены второго порядка x_ix_j при i¹j учитывают эффекты взаимодействия, т.е. дополнительные к линейным эффекты совместного действия факторов x_i и x_j на величину Y, а члены x_ix_j при i=j (т.е. x_i² – квадраты независимых аргументов) – нелинейность изменения функции отклика Y при изменении i-го аргумента. При этом эффект влияния i-го фактора (параметра режущего аппарата) на исследуемый показатель (крутящий момент Т_кр или осыпаемости семян К₀) оценивается соответствующим коэффициентом уравнения регрессии (4).

В нашем исследовании вид функции отклика для крутящего момента Т_кр и осыпаемости семян К₀ от регулируемых параметров режущего аппарата неизвестен. В таких случаях, как принято при использовании многофакторного планирования эксперимента, уравнение регрессии представляют в виде полинома второй степени при достаточном количестве экспериментальных точек. Выбранный план Бокса-Бенкина удовлетворяет последнему условию и, поэтому, позволяет рассчитать математическую модель процесса осыпаемости семян в виде полной квадратичной функции трех исследуемых параметров – окружной скорости режущего аппарата V₀, поступательной скорости V_п и угла защемления режущей пары χ:

. (6)

В результате применения статистических процедур компьютерной программы Statistica 7.0, рассчитаны оценки β-коэффициентов нелинейной регрессии при кодированных x₁, x₂, x₃ и натуральных V₀, V_п, χ переменных, их стандартные ошибки, t-критерии Стьюдента для проверки значимости компонентов регрессии, уровни вероятности p, верхние и нижние 90%-ные доверительные границы.

Используя полученные методом наименьших квадратов оценки коэффициентов регрессии из, запишем уравнения для показателей Т_кр и К₀ от кодированных x₁, x₂, x₃ и натуральных V₀, V_п, χ переменных:

для крутящего момента на валу рабочего органа Т_кр (Н·м)

Т_кр = 17,6 – 0,525 x₁+ 1,60208+ 0,20875 x₂+ 0,04458+ 0,32125 x₃+

+ 0,64458+ 0,75 x₁x₂– 0,65 x₁x₃– 0,3325 x₂x₃; (7)

Т_кр = 35,48 – 2,2292 V₀ + 0,0908 – 10,5583 V_п + 4,4583 –

– 0,1576 χ + 0,0064χ² + 1,7857 V₀V_п – 0,0155 V₀χ – 0,3325 V_пχ (8)

и осыпаемости семян К₀ (%)

К₀ = 16,33 – 5,125 x₁ + 9,458333 + 1,375 x₂ – 3,041667 + 0,25 x₃ +

+ 0,708333 + 0,25 x₁x₂ – 1,5 x₁x₃; (9)

К₀ = 95,47 – 13,6012 V₀ + 0,536187 + 127,91667 V_п – 304,1667 –

– 0,02083 χ + 0,00708χ² + 0,59524 V₀V_п – 0,035714 V₀χ. (10)

Таким образом, на основе полученных экспериментальных данных, методом наименьших квадратов рассчитаны уравнения квадратичной регрессии (7) и (8) для крутящего момента Т_кр, (9) и (10) для осыпаемости семян К₀, которые зависят от трех исследуемых параметров, представленных в стандартизированном x₁, x₂, x₃ и натуральном V₀, V_п, χ масштабе.

По коэффициенту регрессии при кодированной переменной можно оценить сравнительное влияние каждого параметра на величину крутящего момента на валу рабочего органа Т_кр (Н·м) или осыпаемости семян К₀ (%).

Наиболее значимое влияние на крутящий момент и осыпаемость семян оказывает квадратичный член регрессии (x₁ – окружная скорость режущего аппарата), у которого коэффициент регрессии, равный 1,602 и 9,458 для Т_кр и К₀ соответственно, является наибольшим среди коэффициентов уравнения (4.7) и (4.9).

Для оценки адекватности моделей регрессии второго порядка воспользуемся результатами дисперсионного анализа (таблица 2).

Из таблицы 2 следует, что рассчитанные уравнения регрессии хорошо описывают экспериментальные данные, так как значительная часть полной суммы квадратов (SS_T) приходится на сумму квадратов, обусловленную регрессией (SS_R), и составляет

для крутящего момента на валу рабочего органа Т_кр (Н·м)

; (11)

Таблица 2 – Результаты дисперсионного анализа квадратичной регрессии, построенной для крутящего момента и осыпаемости семян

Источник изменчивости	Сумма квадратов SS	Число степеней свободы df	Средний квадрат MS	Отношение средних квадратов F	p - уровень значимости для F
Крутящий момента на валу рабочего органа Ткр (Н·м)
Регрессия (R)	18,29808	9	2,03312	2,944595	0,1234803
Остаток (E)	3,452292	5	0,690458
Итого (T)	21,75037	14
Осыпаемость семян К0 (%)
Регрессия (R)	618,3167	9	68,70185	1,096015	0,4860154
Остаток (E)	313,4167	5	62,68333
Итого (T)	931,7333	14

Из таблицы 2 следует, что рассчитанные уравнения регрессии хорошо описывают экспериментальные данные, так как значительная часть полной суммы квадратов (SS_T) приходится на сумму квадратов, обусловленную регрессией (SS_R), и составляет

для крутящего момента на валу рабочего органа Т_кр (Н·м)

; (12)

для осыпаемости семян К₀ (%)

, (13)

что свидетельствует о статистически значимом различии между средними квадратами. Для проверки качества аппроксимации полученных уравнений регрессии были рассчитаны коэффициент множественной корреляции R, коэффициент детерминации R² и критерий Фишера F (таблица 3).

В соответствии с полученными значениями R² рассчитанные уравнения регрессии хорошо аппроксимируют экспериментальные данные, и также свидетельствуют о тесной взаимосвязи между крутящим моментом Т_кр и осыпаемостью семян К₀ с одной стороны, и включенными в модель регрессии параметрами V₀, V_п, χ, с другой.

Таблица 4.7 – Проверка адекватности и достоверности моделей регрессии для обоснования параметров режущего аппарата

Статистические показатели качества и критерии адекватности	Отклик
	Ткр	К0
1	2	3
Множественная корреляция R	0,917	0,815
Коэффициент детерминации R^2	0,841	0,664
1	2	3
Число степеней свободы df : k1; k2	9; 5	9; 5
Критерий Фишера F	2,945	1,096
Примечание: k1 и k2 – число степеней свободы для числителя и знаменателя, соответственно

Значения критерия Фишера F свидетельствуют о согласованности полученного уравнения с экспериментальными данными.

Построенные контурные и поверхностные диаграммы для К₀ позволяют определить наилучшее сочетание параметров режущего аппарата – окружной скорости режущего аппарата V₀, поступательной скорости V_п и угла защемления режущей пары χ, при которых величина осыпаемости семян К₀ принимает наименьшее значение.

Наименьшего значения осыпаемость семян К₀ может достигать в критической точке. Чтобы найти её координаты, приравняем нулю первую производную функции отклика К₀ (10) по исследуемым параметрам V₀, V_п, χ, и решим систему линейных уравнений:

(14)

Детерминант (или определитель) det системы (14) отличен от нуля
(det = –1,059 ≠ 0). Решением системы (14) является стационарная точка поверхности отклика К₀ с координатами

. (15)

Из (15) следует, что все координаты особой точки отклика К₀ лежат в экспериментальной области. Этим переменным соответствуют следующие значения функций отклика:

. (16)

Итак, проведя серию экспериментов на плане Бокса-Бенкинса с целью обосновать оптимальные параметры режущего аппарата, рассчитана адекватная математическая модель и доказана её согласованность с наблюдаемыми в экспериментах данными. Установлено, что в стационарной точке (в центре поверхности отклика для показателя К₀), т.е. при:

– окружной скорости режущего аппарата = 13,76 м/с;

– поступательной скорости режущего аппарата = 0,22 м/с;

– угле защемления режущей пары χ* = 36,17 град.,осыпаемость семян К₀ = 15,8 %. При этом при таких значениях параметров режущего аппарата крутящий момент на валу рабочего органа Т_кр составляет 17,7 Н·м.

Полученные параметры режущего аппарата и величину осыпаемости семян К₀ можно формально улучшить, решив поставленную в конце оптимизационную задачу средствами Excel с учетом выражений (10) для осыпаемости семян К₀ и (8) для крутящего момента на валу рабочего органа Т_кр:

К₀ = 95,47 – 13,6012 V₀ + 0,536187 + 127,91667 V_п – 304,1667 –

– 0,02083 χ + 0,00708χ² + 0,59524 V₀V_п – 0,035714 V₀χ → min (17)

(18)

Т_кр = 35,48 – 2,229V₀ + 0,0908 – 10,558V_п + 4,458 – 0,1576 χ +

+ 0,0064χ² + 1,7857 V₀V_п – 0,0155 V₀χ – 0,3325 V_пχ ≤ 22. (19)

Величина крутящего момента на валу рабочего органа Т_кр ограничена сверху значением 22 Н·м, т.к. в поставленных экспериментах max Т_кр = 21,9 Н·м. Стартовав в процедуре «Поиск решения» с центральной точки, были получены следующие оптимальные параметры режущего аппарата: окружная скорость режущего аппарата V₀ = 13,84 м/с; поступательная скрость режущего аппарата V_п = 0,1 м/с; угол защемления режущей пары χ = 36,36 град.,при которых осыпаемость семян К₀ имеет наименьшее значение, равное 11,14%, а крутящего момента на валу рабочего органа Т_кр = 17,28 Н·м.

Сопоставляя полученное решение оптимизационной задачи с решением в стационарной точке для функции отклика К₀, приходим к заключению, что в этих решениях значения окружной скорости режущего аппарата V₀ и угла защемления режущей пары χ практически совпадают. Относительные отклонения от параметров оптимизационной задачи составляют менее 0,6 %.

Таким образом, на основе результатов анализа данных, полученных в лабораторных экспериментах, следует рекомендовать следующие параметры режущего аппарата: окружная скорость V₀=13,8 м/с, поступательная скорость
V_п = 0,1 м/с, угол защемления режущей пары χ = 36,4 град.

Использованный литературный источник

1.Таблицы планов эксперимента для факторных и полиномиальных моделей (справочное издание). – М.: Металлургия, 1982. – 752 с.