Математика/4.Прикладная математика

К. ф.-м. н. Якунина О.В.

Пензенский государственный университет

ПРИЗНАКИ КЛАССОВ НАВЕЙРА

СПЕЦИАЛЬНОЙ РИМАНОВОЙ СТРУКТУРЫ ПОЧТИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

На касательном расслоении гладкого многообразия рассматривается риманова структура почти произведения, горизонтальное распределение которой определяется заданной инфинитезимальной связностью. Для данной структуры получены признаки классов Навейра.

1. Пусть - гладкое n-мерное многообразие, g - риманова метрика на . Римановой структурой почти произведения на называется тензорное поле P типа (1,1), удовлетворяющее условиям:

, (1)

(2)

для любых векторных полей X,Y на

В каждой точке можно рассмотреть два подпространства : горизонтальное , все векторы которого отвечают собственному значению оператора , равному -1, и вертикальное , соответствующее собственному значению +1. Таким образом, на определены 2 дополнительных взаимно ортогональных распределения – горизонтальное и вертикальное размерностей p и q соответственно: , . Обозначим h и v операторы проектирования на H и V соответственно. Тогда , , , , и условие (2) можно представить в виде:

< X, Y > = < hX, hY > + < vX, vY >. (3)

В [2] Навейра выделил 64 класса римановых структур почти произведения. В его работе рассматривается симметричное дважды ковариантное тензорное поле Ф, которое для любых векторных полей на определяется следующим образом: .

Пусть - связность Леви-Чивита метрики g.

Ковариантная производная есть тензорное поле типа (0,3)

обладающее следующими свойствами:

1) (4)

2) (5)

Так как свойства выполняются на каждом касательном пространстве, то можно смоделировать общую ситуацию на n-мерном векторном пространстве Т с двумя подпространствами H и V размерностей p и q соответственно, p + q = n. Пусть - дуальное пространство, и W – конечномерное пространство тензоров, обладающих свойствами (4) и (5):

для .

Пусть - группа движений Т, оставляющих инвариантными подпространства H и V. Каждому элементу этой группы соответствует линейное преобразование в пространстве W . Данное соответствие является представлением группы. Пространство W допускает разложение на инвариантные и неприводимые компоненты при естественном представлении группы :

где и - ортогональные подпространства, ,

,

,

,

,

.

Здесь - ортонормированный базис T такой, что

,

( ), и для любого и любого :

Поскольку , имеем 6 основных классов Другие классы могут быть получены как прямая сумма элементарных классов: , где есть некоторое подмножество (возможно пустое) множества

Навейра сформулировал инвариантные характеристики классов в виде условий, накладываемых на распределения и . Для любых (соответственно и любого горизонтальное (соответственно вертикальное) распределение может удовлетворять следующим условиям:

: - интегрируемое распределение;

: - антислоение;

: - вполне геодезическое слоение;

: (соответственно ) - распределение типа ,

: - распределение типа ,

(соответственно ),

: - минимальное слоение,

: - вполне омбилическое слоение.

В [1] рассмотрен геометрический смысл данных условий.

2. Рассмотрим касательное расслоение гладкого n-мерного многообразия . Пусть - локальные координаты на , - естественные локальные координаты на . Здесь и далее Пусть N – инфинитезимальная связность, с коэффициентами , определяющая горизонтальное распределение и, следовательно, структуру почти произведения на : в каждой точке

,

где - вертикальное распределение, касающееся слоев.

Векторные поля , образуют локальный базис векторных полей, адаптированный к структуре почти произведения, где , , , . Структурные уравнения имеют вид

, , , (6)

где , ().

Рассмотрим на риманову метрику . Из (3) следует, что риманова метрика является метрикой структуры почти произведения тогда и только тогда, когда ее матрица в адаптированных к структуре почти произведения координатах имеет блочно-диагональный вид:

. (7)

Вычисляя коэффициенты связности Леви-Чивита метрики , определяемые разложением , находим:

где

Рассмотрим специальный ортонормированный локальный базис векторных полей на TM такой, что , . Векторные поля можно разложить по векторным полям адаптированного базиса : , , где , , и

Анализируя условия , , , , , , для каждого из распределений в адаптированных к структуре почти произведения координатах, и учитывая выражения, полученные для коэффициентов связности Леви-Чивита метрики , приходим к результатам, представленным в таблице. Инвариантные характеристики всех классов Навейра могут быть получены объединением соответствующих условий.

	Условия на H	Условия на V
		Выполняется тождественно

Условия и , и , и для вертикального распределения V совпадают в силу интегрируемости распределения V.

Литература.

1. Gil-Medrano O. Geometries properties of some classes of Riemannian almost-product manifolds. // “Rend.Circ.mat.Palermo.”, 1983, 32, №3. – с.315-329.

2. Naveira, A.M. A classification of Riemannian almost-product manifolds. // “Rend.mat.appl.”, 1983, 3, №3. – с.577-592.

3. Сухова О.В. О некоторых классах Навейра римановых структур почти произведения на касательном расслоении гладкого многообразия. // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. // ГОУ ВПО Чувашский гос. пед. ун-т им. И.Я. Яковлева. – 2006г. - №5(52). – С. 175-179.