Математика/ 4. Прикладная математика

К.ф.-м.н. Можей Н.П.

Белорусский государственный технологический университет, Беларусь

Когомологии псевдоримановых однородных пространств

Релятивистская космология доставляет наиболее важный и простой пример того, как многообразия используются в физике. Результаты исследования могут найти приложения в общей теории относительности, которая, с математической точки зрения, базируется на геометрии искривленных пространств, а также в ядерной физике, физике элементарных частиц и т. п.

Пусть – дифференцируемое многообразие, на котором транзитивно действует группа , – стабилизатор произвольной точки . Проблема классификации однородных пространств (, ) сводится к классификации пар групп Ли (, ). Пусть – алгебра Ли группы Ли , а – подалгебра, соответствующая подгруппе . Каждое псевдориманово однородное пространство локально описывается тройкой , здесь B – инвариантная симметрическая невырожденная билинейная форма. Локально однородное псевдориманово пространство (не допускающее риманову метрику), т.ч. и , описывается одной и только одной из следующих пар:

Таблица умножения

Таблица умножения

3.4.1.

	e1	e2	e3	u1	u2	u3
e1	0	e2	-e3	u1	0	-u3
e2	-e2	0	e1	0	u1	u2
e3	e3	-e1	0	u2	u3	0
u1	-u1	0	-u2	0	0	0
u2	0	-u1	-u3	0	0	0
u3	u3	-u2	0	0	0	0

3.4.2,

3.4.3.

	e1	e2	e3	u1	u2	u3
e1	0	e2	-e3	u1	0	-u3
e2	-e2	0	e1	0	u1	u2
e3	e3	-e1	0	u2	u3	0
u1	-u1	0	-u2	0	±e2	e1
u2	0	-u1	-u3	e2	0	e3
u3	u3	-u2	0	±e1	±e3	0

2.21.4.

	e1	e2	u1	u2	u3
e1	0	e2	u1	0	-u3
e2	-e2	0	0	u1	u2
u1	-u1	0	0	u1	u2
u2	0	-u1	-u1	0	u3
u3	u3	-u2	-u2	-u3	0

2.21.1.

	e1	e2	u1	u2	u3
e1	0	e2	u1	0	-u3
e2	-e2	0	0	u1	u2
u1	-u1	0	0	0	0
u2	0	-u1	0	0	0
u3	u3	-u2	0	0	0

1.1.6.

	e1	u1	u2	u3
e1	0	u1	-u2	0
u1	-u1	0	u3	0
u2	u2	-u3	0	0
u3	0	0	0	0

1.8.1.

	e1	u1	u2	u3
e1	0	0	u1	u2
u1	0	0	0	0
u2	-u1	0	0	0
u3	-u2	0	0	0

1.8.2.

	e1	u1	u2	u3
e1	0	0	u1	u2
u1	0	0	u1	u2
u2	-u1	-u1	0	u3
u3	-u2	-u2	-u3	0

1.8.3.

	e1	u1	u2	u3
e1	0	0	u1	u2
u1	0	0	0	u1
u2	-u1	0	0	u2+λe1
u3	-u2	-u1	-u2-λe1	0

1.8.4,

1.8.5.

	e1	u1	u2	u3
e1	0	0	u1	u2
u1	0	0	0	0
u2	-u1	0	0	±e1
u3	-u2	0	e1	0

1.1.5.

	e1	u1	u2	u3
e1	0	u1	-u2	0
u1	-u1	0	e1	0
u2	u2	-e1	0	0
u3	0	0	0	0

1.1.1.

	e1	u1	u2	u3
e1	0	u1	-u2	0
u1	-u1	0	0	0
u2	u2	0	0	0
u3	0	0	0	0

1.1.7.

	e1	u1	u2	u3
e1	0	u1	-u2	0
u1	-u1	0	e1+u3	0
u2	u2	-e1-u3	0	0
u3	0	0	0

1.1.2.

	e1	u1	u2	u3
e1	0	u1	-u2	0
u1	-u1	0	0	0
u2	u2	0	0	u2
u3	0	0	-u2	0

Здесь , , – базис ,

, , – подпространства, дополнительного к .

Алгебра когомологий любого гладкого многообразия совпадает с алгеброй когомологий внешних форм на . В работе [1] рассматриваются приложения аппарата когомологий алгебр Ли к изучению когомологий главных расслоений и однородных пространств. Обозначим через внешнюю производную дифференциальной формы , через – множество –форм. Пусть – пространство внешних –форм, –форма из замкнута, если и точная, если для некоторой –формы из . Алгебра Ли когомологий степени – векторное пространство замкнутых –форм из по модулю точных –форм из . Обозначим – множество –форм на , образующих базис когомологий , – множество всех замкнутых форм на , задающих базис когомологий на . Когомологии трехмерных однородных псевдоримановых многообразий имеют следующий вид:

3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 2.21.1, 2.21.4 , .

1.1.1, 1.1.5. , .

1.1.2. , .

1.1.6, 1.1.7. , .

1.8.1, 1.8.3, 1.8.4, 1.8.5. , .

1.8.2. , .

Литература:

1. Greub W. Connections, curvature and cohomology / W. Greub, S. Halperin, R. Vanstоne– Vol. 3: Cohomology of principal bundles and homogeneous spaces, N. Y.– L., 1975.